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第2讲　 不等式选讲
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析
2018 卷Ⅰ 绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T23 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.
卷Ⅱ 绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T23
卷Ⅲ 含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题·T23
2017 卷Ⅰ 含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T23
卷Ⅱ 基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·T23
卷Ⅲ 含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T23
2016 卷Ⅰ 含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法·T24
卷Ⅱ 含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T24
卷Ⅲ 含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T24
　　　绝对值不等式的解法(综合型)
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0) f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0) －a(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
[典型例题]
(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|.
(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含，求m的取值范围．
【解】　(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，
当x≥1时，f(x)＝3x－2≤2，所以1≤x≤；
当当x≤时，f(x)＝2－3x≤2，所以0≤x≤，
综上可得原不等式f(x)≤2的解集为.
(2)由题意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，当x∈时，f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|＝|x＋m|＋2x－1≤|2x＋1|＝2x＋1，所以|x＋m|≤2，即－2≤x＋m≤2，则－2－x≤m≤2－x，且(－2－x)max＝－，(2－x)min＝0，因此m的取值范围为.
|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c>0)，|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c>0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根．
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间．
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集．
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c>0)或|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．　
[对点训练]
(2018·合肥第一次质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x)解：(1)f(x)－f(x＋1)≤1 |2x－1|－|2x＋1|≤1，
则或
或
解得x≥或－≤x<，
即x≥－，
所以原不等式的解集为.
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|则m>(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋2x＋1|＝2，
当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m>2.
所以m的取值范围是(2，＋∞)．
　　　不等式的证明(综合型)
含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
[典型例题]
(2018·长春质量检测(一))设不等式||x＋1|－|x－1||<2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证：>1.
【解】　(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|
＝
由|f(x)|<2得－1(2)证明：要证>1，只需证|1－abc|>|ab－c|，
只需证1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证1－a2b2>c2(1－a2b2)，
只需证(1－a2b2)(1－c2)>0，
由a，b，c∈A，得a2b2<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0恒成立．
综上，>1.
证明不等式的方法和技巧
(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．
(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．
[对点训练]
(2018·陕西教学质量检测(一))已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≤3；
(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明t2＋1≥＋3t.
解：(1)依题意，得f(x)＝
所以f(x)≤3 或或
解得－1≤x≤1，
即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．
(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，
当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，
所以M＝[3，＋∞)．
t2＋1－3t－＝＝，
因为t∈M，
所以t－3≥0，t2＋1>0，
所以≥0，
所以t2＋1≥＋3t.
　　　含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)
[典型例题]
(2018·郑州第一次质量预测)设函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)(2)若2f(x)＋g(x)>ax＋4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．
【解】　(1)由已知，可得|x＋3|<|2x－1|，
即|x＋3|2<|2x－1|2，
所以3x2－10x－8>0，
解得x<－或x>4.
故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．
(2)由已知，设h(x)＝2f(x)＋g(x)＝2|x＋3|＋|2x－1|＝
当x≤－3时，只需－4x－5>ax＋4恒成立，即ax<－4x－9恒成立，
因为x≤－3<0，所以a>＝－4－恒成立，
所以a>，所以a>－1；
当－3ax＋4恒成立，即ax－3<0恒成立，
只需所以所以－1≤a≤6；
当x≥时，只需4x＋5>ax＋4恒成立，即ax<4x＋1恒成立．
因为x≥>0，所以a<＝4＋恒成立．
因为4＋>4，且x→＋∞时，4＋→4，
所以a≤4.
综上，a的取值范围是(－1，4]．
绝对值不等式的成立问题的求解模型
(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式．
(2)转化最值：f(x)>a恒成立 f(x)min>a；f(x)a有解 f(x)max>a；f(x)a无解 f(x)max≤a；f(x)(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．
(4)得结论．　
[对点训练]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}．
(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；
若a>0，|ax－1|<1的解集为0综上，a的取值范围为(0，2]．
2．(2018·洛阳第一次联考)已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)＝x2－2x－4＋.
(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；
(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(2a2－1)>4|a－1|，
所以|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，
所以|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)>0，
所以|2a|＋|a＋1|>4且a≠1.
①若a≤－1，则－2a－a－1>4，所以a<－；
②若－14，所以a<－3，此时无解；
③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1>4，所以a>1.
综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
(2)因为g(x)＝(x－1)2＋－5
≥2－5＝－1，显然可取等号，
所以g(x)min＝－1.
于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.
又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，
所以(a－1)2≤1，所以－1≤a－1≤1，所以0≤a≤2，即a∈[0，2]．
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．(2018·开封模拟)已知函数f(x)＝|x－m|，m<0.
(1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；
(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．
解：(1)设F(x)＝|x－1|＋|x＋1|
＝
由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}．
(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.
设g(x)＝f(x)＋f(2x)，当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，则g(x)≥－m；
当m当x≥时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－.
则g(x)的值域为，
不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－，解得m>－2，
由于m<0，则m的取值范围是(－2，0)．
3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，即|3x－1|>x，
所以3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>，
所以不等式f(x)>0的解集为.
(2)当a>0时，f(x)＝
要使函数f(x)的图象与x轴无交点，
只需即1≤a<2；
当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；
当a<0时，f(x)＝
要使函数f(x)的图象与x轴无交点，
只需此时无解．
综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1，2)．
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|.
(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；
(2)若g(x)＝4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝.
当x<－时，f(x)≤2无解；
当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为；
当x>时，f(x)≤2无解．
综上所述，f(x)≤2的解集为.
(2)当x∈时，f(x)＝(a－2x)＋(2x＋1)＝a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x)．
又g(x)＝4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，则，
即，即－≤a≤2.
又a>－1，所以－16．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)＝|2x＋3a2|.
(1)当a＝0时，求不等式f(x)＋|x－2|≥3的解集；
(2)若对于任意函数x，不等式|2x＋1|－f(x)<2a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，不等式可化为|2x|＋|x－2|≥3，
得或或，
解得x≤－或x≥1，
所以当a＝0时，不等式f(x)＋|x－2|≥3的解集为∪[1，＋∞)．
(2)对于任意实数x，不等式|2x＋1|－f(x)<2a恒成立，即|2x＋1|－|2x＋3a2|<2a恒成立．
因为|2x＋1|－|2x＋3a2|≤|2x＋1－2x－3a2|＝|3a2－1|，
所以要使原不等式恒成立，只需|3a2－1|<2a.
当a<0时，无解；当0≤a≤时，1－3a2<2a，解得当a>时，3a2－1<2a，解得所以实数a的取值范围是.
7．(2018·福州模拟)已知函数f(x)＝x2－|x|＋1.
(1)求不等式f(x)≥2x的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥在[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)≥2x等价于x2－|x|－2x＋1≥0，①
当x≥0时，①式化为x2－3x＋1≥0，
解得x≥或0≤x≤；
当x<0时，①式化为x2－x＋1≥0，
解得x<0，综上所述，不等式f(x)≥2x的解集为.
(2)不等式f(x)≥在[0，＋∞)上恒成立，
等价于－f(x)≤＋a≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立，
等价于－x2＋x－1≤＋a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，
等价于－x2＋x－1≤a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，
由－x2＋x－1＝－－≤－(当且仅当x＝时取等号)，
x2－x＋1＝＋≥(当且仅当x＝时取等号)，
所以－≤a≤，
综上所述，实数a的取值范围是.
8．(2018·武汉调研)已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R.
(1)若a＝4，求不等式f(x)>g(x)的解集；
(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝4时，不等式f(x)>g(x)为x2＋2>|x－4|－|x－1|，
g(x)＝|x－4|－|x－1|＝
①当x≥4时，x2＋2>－3恒成立，所以x≥4.
②当1－2x＋5，即x2＋2x－3>0，得x>1或x<－3，
所以1③当x≤1时，x2＋2>3，则x>1或x<－1，所以x<－1.
由①②③可知不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x<－1或x>1}．
(2)当a≥1时，g(x)＝所以g(x)的最大值为a－1.
要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥a－1，则a≤3，
所以1≤a≤3.
当a<1时，g(x)＝所以g(x)的最大值为1－a.
要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥1－a，则a≥－1，所以－1≤a<1.
综上，实数a的取值范围是[－1，3].

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