资源简介

(共35张PPT)
10.2　事件的相互独立性
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解事件A与B相互独立的概念. 2.会求独立事件的概率. 1.结合具体实例学习事件独立性的概念,达成数学抽象的核心素养.
2.通过利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
相互独立事件
对任意两个事件A与B,如果 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
P(AB)=P(A)P(B)
(2)与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:
小试身手
1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　 　)
(A)互斥事件 (B)相互独立事件
(C)对立事件 (D)不相互独立事件
D
解析:根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B不是相互独立事件.故选D.
D
2.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是(　 　)
D
课堂探究·素养培育
探究点一
事件的独立性的判断
[例1] (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B(　　)
(A)相互独立但不互斥 (B)互斥但不相互独立
(C)相互独立且互斥 (D)既不相互独立也不互斥
解析:(1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
(2)抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是(　　)
(A)互斥事件
(B)对立事件
(C)相互独立事件
(D)不相互独立事件
方法技巧
事件的独立性的判断:(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
即时训练1-2:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的有
　　　　.(填序号)
①A,B;②A,C;③B,C.
解析:根据事件相互独立的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,
P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),
P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.
答案:①②③
求独立事件的概率
探究点二
变式训练2-2:本例中的条件不变,试求“3人中几人同时被选中的概率
最大”.
方法技巧
求相互独立事件的概率的步骤
第一步,先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;
第二步,求出这些彼此互斥事件的概率;
第三步,根据互斥事件的概率计算公式求出结果.
此外,当题目中涉及“至少”“至多”问题,也可以从对立事件入手计算概率.
[备用例1] 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
[备用例1] 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
相互独立事件与互斥事件的综合应用
探究点三
[例3] 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(1)两件产品都是正品的概率;
[例3] 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(2)恰有一件是正品的概率;
[例3] 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(3)至少有一件是正品的概率.
解:(3)由于事件AB与C互斥,
所以P(D)=P(AB∪C)
=P(AB)+P(C)
=0.912+0.086=0.998.
方法技巧
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
即时训练3-1:有三种产品,合格率分别为0.9,0.85,0.85,各抽取一件进行检验,求:
(1)恰有一件不合格品的概率;
即时训练3-1:有三种产品,合格率分别为0.9,0.85,0.85,各抽取一件进行检验,求:
(2)至少有两件不合格品的概率.
[备用例2] 甲、乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
解:记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4,5),“第j局乙获胜”为事件Bj(j=3,4,5).
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则A=A3A4∪B3B4,
由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=
P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.
[备用例2] 甲、乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率;
解:(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B,因前两局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲再胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,
由于各局比赛结果相互独立,故
P(B)=P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.
所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.
[备用例2] 甲、乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(3)求经过5局比赛,比赛结束的概率.
解:(3)经过5局比赛,甲获胜的概率为
P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288;
经过5局比赛,乙获胜的概率为
P(A3B4B5)+P(B3A4B5)=0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4=0.192.
所以经过5局比赛,比赛结束的概率为0.288+0.192=0.48.
课堂达标
B
1.掷一枚质地均匀的骰子一次,记A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　 　)
(A)互斥事件 (B)相互独立事件
(C)既互斥又相互独立事件 (D)既不互斥又不相互独立事件
D
2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则两人同时命中的概率为(　 　)
(A)0.45 (B)0.6 (C)0.2 (D)0.3
解析:设目标被甲击中为事件A,目标被乙击中为事件B,则事件AB表示两人同时命中,
所以P(AB)=0.6×0.5=0.3.故选D.
3.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是　　　　.
4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为
　　　　.
解析:因为甲、乙两人是否被录取相互独立,
所求事件的对立事件为“两人均未被录取”,
所以由对立事件和相互独立事件概率公式知,
P=1-(1-0.6)(1-0.7)=1-0.12=0.88.
答案:0.88

展开更多......

收起↑