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第二节　参数方程
·最新考纲·
1．了解参数方程，了解参数的意义．
2．能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
·考向预测·
考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程与极坐标方程的综合应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上________的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在________，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称________．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________．
2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为__________________(t为参数)，则参数t的几何意义是__________________．
3．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为____________α∈[0，2π)．
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆＝1(a＞b＞0)的参数方程为____________θ∈[0，2π)．
二、必明1个常用结论
直线参数方程中参数的几何意义
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　参数方程与普通方程的互化　[基础性]
1．把下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)．
(2)(θ为参数，θ∈[0，2π))．
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
反思感悟　消去参数的三种方法：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
考点二　参数方程的应用　[综合性]
角度1　直线参数方程的应用
[例1]　[2022·深圳市统一测试]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)直线C1与曲线C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2，π)，若2|EF|＝|PE|＋|PF|，求直线C1的普通方程．
听课笔记：
反思感悟　(1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离．
(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：
①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
②若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1，M2对应的参数分别为t1，t2，下同)的中点，则t1＋t2＝0；
③设线段M1M2的中点为M，则点M对应的参数为tM＝.
角度2　圆与椭圆参数方程的应用
[例2]　[2022·福建省质量检测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C1相切于第二象限的点P，与曲线C2交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝，求直线l的倾斜角．
反思感悟　椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
【对点训练】
1．[2022·四省八校双教研联考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1，C2交于A，B两点，点P的极坐标为(2，－)，求的值．
2．[2022·石家庄市重点高中高三摸底考试]已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，A(2，0)，P为曲线C上的一个动点．
(1)求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形的面积；
(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
考点三　极坐标与参数方程的综合问题　[综合性]
[例3]　[2020·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C1是什么曲线？
(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
听课笔记：
反思感悟　极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
【对点训练】
[2022·惠州市高三调研考试]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2相交于A，B两点，求△OAB的面积．
第二节　参数方程
积累必备知识
一、
1．任意一点　这条曲线上　参数　普通方程
2．有向线段P0P的数量
3．
4．
提升关键能力
考点一
1．解析：(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋ t中得y＝5＋(2x－2)．
即它的普通方程为x－y＋5－＝0.
(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，
即y＝1－x2.又因为|sinθ|≤1，
所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)．
2．解析：圆的半径为，
记圆心为C(，0)，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝+cos 2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sin θcos θ，
所以圆的参数方程为 (θ为参数)．
考点二
例1　解析：(1)由题意得，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
代入上式化简可得，x2＋y2－4y＝0，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)易得点P的直角坐标为(－2，0)，
将(t为参数)，代入曲线C2的直角坐标方程，可得t2－(4cos α＋4sin α)t＋12＝0，
Δ＝(4cos α＋4sin α)2－48＝－48>0，解得sin >，或sin <－，不难知道α必为锐角，故sin >，所以<α＋<，即0<α<，设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1＋t2＝4cos α＋4sin α，t1·t2＝12，所以t1与t2同号，由参数t的几何意义可得，|PE|＋|PF|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝8，|EF|＝|t1－t2|＝＝4，
所以2×4
＝8，两边平方化简可解得sin ＝1，所以α＝＋2kπ，k∈Z，因为0<α<，所以α＝，所以直线C1的参数方程为(t为参数)消去参数t，可得直线C1的普通方程为x－y＋2＝0.
例2　解析：(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数)，所以曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1.
因为曲线C2的极坐标方程ρ2＝，ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，
所以曲线C2的直角坐标方程为 ＋＝1.
(2)如图，设直线l的倾斜角为β，依题意β∈，
则P在曲线C1中的参数α＝β＋，故P(－sin β，cos β)，所以可设直线l的参数方程为(t为参数)．
把直线l的参数方程代入＝1.
得(sin2β＋3)t2＋2(sinβcos β)t＋cos2β－9＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝.
则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝，又|PA|·|PB|＝，所以＝，所以sinβ＝，故β＝，即直线l的倾斜角为.
对点训练
1．解析：(1)C1的普通方程为x－y＝0，C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)C1的参数方程化为标准参数方程为(t′为参数)，P的直角坐标为(－2，－2)，将C1的标准参数方程代入C2的直角坐标方程得t′2－6t′＋16＝0，设A，B对应的参数分别为，则＝＝16，
所以＝＝＝.
2．解析：(1)设θ＝时对应的点为M，θ＝时对应的点为N，O为坐标原点，
线段AP扫过的图形的面积＝S△AMN＋S弓形＝S△OMN＋S弓形＝S扇形OMN＝×12×＝.
(2)设P(cos θ，sin θ)，
∵P为线段AQ的中点，∴Q(2cos θ－2，2sin θ)，
∵Q在曲线C上，曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
∴(2cos θ－2)2＋(2sin θ)2＝1，
∴8cos θ＝7，cos θ＝.
此时点P的直角坐标为(，±)．
考点三
例3　解析：(1)当k＝1时，C1：(t为参数)消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
(2)当k＝4时，C1： (t为参数)消去参数t得C1的普通方程为＝1.
C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.
由解得
故C1与C2的公共点的直角坐标为.
对点训练
解析：(1)消去参数可得C1的普通方程为x＋y－3＝0.
由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
又ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，
所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.
(2)C2的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，表示圆心为C2(2，0)，半径r＝2的圆．
圆心C2到直线x＋y－3＝0的距离d1＝，
故|AB|＝＝.
原点O到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝，
所以S△OAB＝|AB|d＝＝.
所以△OAB的面积为.

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