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选修4－5　不等式选讲
第一节　绝对值不等式
·最新考纲·
1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
·考向预测·
考情分析：绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，与绝对值相关的参数问题，将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过绝对值不等式的求解及绝对值不等式性质的应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．含有绝对值的不等式定理
(1)定理：对任意实数a和b，有
________________________________________________________________________，
其中等号成立的条件为ab≥0.
(2)定理中的b以－b代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成立的条件为____________．
(3)对任意实数a和b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a ________ ________ ________
|x|＞a ________ ________ ________
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
二、必明3个常用结论
1．绝对值不等式的性质
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件：
当ab≥0时，左侧不等式成立；
当ab≤0时，右侧不等式成立．
2．两个等价关系
(1)|x|0) －a(2)|x|>a(a>0) x<－a或x>a.
推广：①|x|②|x|>f(x) x<－f(x)或x>f(x)．
3．实用口诀
解含绝对值的不等式：“找零点，分区间，逐个解，并起来．”
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　含绝对值不等式的解法　[基础性、应用性]
[例1]　[2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；
(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．
听课笔记：
反思感悟　解绝对值不等式的基本方法
【对点训练】
[2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．
考点二　绝对值不等式性质的应用　[基础性、应用性]
[例2]　已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.
听课笔记：
反思感悟　对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．
(2)该定理可推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推论．
(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当b(a＋b)≤0时，|a|－|b|＝|a＋b|；当b(a－b)≥0时，|a|－|b|＝|a－b|.
【对点训练】
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求证：|x＋5y|≤1.
考点三　绝对值不等式的综合应用　[应用性、创新性]
[例3]　[2022·惠州市高三调研考试]已知f(x)＝|x＋1|＋|ax－a＋1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若x≥1时，不等式f(x)≥x＋2恒成立，求a的取值范围．
听课笔记：
反思感悟　两招解不等式问题中的含参问题
(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为 的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立 a(2)第二招是求最值．含绝对值的函数求最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．
【对点训练】
1．[2021·全国乙卷]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
2．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)>4；
(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，求实数a的取值范围．
选修4—5　不等式选讲
第一节　绝对值不等式
积累必备知识
一、
1．(1)|a＋b|≤|a|＋|b|　(2)ab≤0
2．(1){x|－a＜x＜a}　 　 　{x|x＞a或x＜－a}　{x|x∈R且x≠0}
R
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)由已知得g(x)＝
f(x)＝，所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象为
(2)y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度或向右平移|a|(a<0)个单位长度得到的，根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y＝f(x＋a)的图象的右支过y＝g(x)的图象上的点时为临界状态，如图所示，
此时y＝f(x＋a)的图象的右支对应的函数解析式为y＝x＋a－2(x≥2－a)，则4＝＋a－2，解得a＝.
因为f(x＋a)≥g(x)，所以a≥，故a的取值范围为.
对点训练
解析：(1)由题设知
f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象．
y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.
由图象可知当且仅当x<－时，y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方．
故不等式f(x)>f(x＋1)的解集为.
考点二
例2　解析：(1)∵f(x)<|x|＋1，
∴|2x－1|<|x|＋1，
即或或
得≤x<2或0故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＝<1.
故不等式f(x)<1得证．
对点训练
证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.
考点三
例3　解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x|≥3.
当x<－1时，－x－1－x≥3，解得x≤－2，所以x≤－2；
当－1≤x<0时，x＋1－x≥3，无解；
当x≥0时，x＋1＋x≥3，解得x≥1，所以x≥1.
综上，不等式f(x)≥3的解集为(－∞，－2]
(2)当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.
令g(x)＝a(x－1)＋1，则g(x)的图象为过定点(1，1)且斜率为a的一族直线，
数形结合可知，当a≥0时，|ax－a＋1|≥1在[1，＋∞)上恒成立．
所以，所求a的取值范围为[0，＋∞)．
对点训练
1．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，
故f(x)≥6即|x－1|＋|x＋3|≥6，
当x≤－3时，1－x－x－3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4；
当－3当x>1时，x－1＋x＋3≥6，解得x≥2，又x>1，所以x≥2.
综上，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|3＋a|，当且仅当x在a与－3之间(包括两个端点)时取等号，
若f(x)>－a，则|3＋a|>－a，
即3＋a>－a或3＋a－，
故a的取值范围为.
2．解析：(1)由已知，得f(x)＝
∴f(x)>4 或或 x<－2或01.
综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)
(2)存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立 a＋1>f(x)min，x∈.
由(1)得，x∈时，f(x)＝x＋4，f(x)min＝，
∴a＋1>，∴a>，
∴实数a的取值范围为.

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