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第一节　坐标系
·最新考纲·
1．了解坐标系的作用．
2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
3．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
4．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
·考向预测·
考情分析：极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的应用．将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过极坐标方程的求解及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．极坐标的概念
(1)极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做________，从O点引一条射线Ox，叫做________，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．
(2)极坐标：
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的________，θ叫做点M的________，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
当点M在极点时，它的极径________，极角θ可以取________．
(3)点与极坐标的关系：
平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示________，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．
如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0，2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化 公式 ρ2＝________ tan θ＝________
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
二、必明2个常用结论
1．极坐标的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．
2．常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点， 半径为r的圆 ____________________
圆心为(r，0)， 半径为r的圆 ____________________
圆心为， 半径为r的圆 ____________________
过极点，倾斜角 为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a，0)，与 极轴垂直的直线 ____________________
过点，与 极轴平行的直线 ____________________
过点(a，0)， 倾斜角为α 的直线 ____________________
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　直角坐标系中的伸缩变换　[基础性]
1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin ，求函数y＝f(x)的最小正周期．
反思感悟 伸缩变换公式应用时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时
一定要区分变换前的再利用伸缩变换
再利用换元法确定伸缩变换公式．
考点二　极坐标与直角坐标的互化　[综合性]
[例1]　在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin (θ－)＝(ρ≥0，0≤θ<2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
听课笔记：
反思感悟　极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换，其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
【对点训练】
以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．
考点三　曲线的极坐标方程及应用　[综合性]
角度1　曲线的极坐标方程
[例2]　[2021·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
听课笔记：
反思感悟　求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
角度2　极坐标方程的应用
[例3]　[2022·陕西省部分学校检测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.
(1)求曲线C1的极坐标方程并判断C1，C2的位置关系；
(2)设直线θ＝α分别与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于P点．若|AB|＝3|OA|，求|OP|的值．
听课笔记：
反思感悟　极坐标方程及其应用的解题策略
(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
【对点训练】
1．在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
2．[2022·昆明市质量检测]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1，C2交于A，B两点，求|OA|·|OB|.
选修4－4　坐标系与参数方程
第一节　坐标系
积累必备知识
一、
1．(1)极点　极轴　极坐标系　(2)极径　极角　ρ＝0　任意值　(3)同一个点
2．(1)ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)
二、
2．ρ＝r(0≤θ＜2π)　ρ＝2r cos θ(－≤θ＜)　ρ＝2r sin θ(0≤θ＜π)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝a(0＜θ＜π)　ρsin (α－θ)＝a sin α
提升关键能力
考点一
1．解析：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将
代入x2－＝1，得＝1，
化简得＝1，
即＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，
则焦点F1(－5，0)，F2(5，0)为所求．
2．解析：由题意，把变换公式代入曲线
y′＝3sin
得3y＝3sin ，
整理得y＝sin ，
故f(x)＝sin .
所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.
考点二
例1　解析：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，
即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin ＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1.
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，转化为极坐标为，故直线l与圆O的公共点的极坐标为.
对点训练
解析：(1)因为ρ＝，ρsin θ＝y，ρ＝可化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意＝3·，解得θ0＝或θ0＝，所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
考点三
例2　解析：(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为(α为参数)．
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
则这两条切线方程分别为y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故这两条切线的极坐标方程分别为ρsin θ＝ρcos θ－＋1，ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
例3　解析：(1)曲线C1：(φ为参数)
①2＋②2得(x－3)2＋y2＝5，
即x2＋y2－6x＋4＝0，
将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式，得曲线C1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.
由得ρ2＋16＝0，此方程无解，
所以C1，C2相离．
解析：(2)由
得ρ2－6ρcos α＋4＝0，
因为直线θ＝α与曲线C1有两个交点A，B，
所以Δ＝36cos2α－16>0，得cosα>.
设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，
则
因为|AB|＝3|OA|，所以|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1　⑤，
由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝，满足Δ>0，
由得ρ＝＝－，所以|OP|＝|ρ|＝.
对点训练
1．解析：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos (θ－)＝2上．
所以，l的极坐标方程为ρcos ＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
故θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
2．解析：(1)消去参数t，得C1的普通方程为x－y＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1.
因为ρ＝4cos θ，所以ρ2＝4ρcos θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)C1的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，
C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
联立得解得cos θ＝，sin θ＝，
由sin2θ＋cos2θ＝1得ρ4－12ρ2＋8＝0，所以＝8，ρ1ρ2＝2，
所以|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝2.

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