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第二节　不等式的证明
·最新考纲·
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
·考向预测·
考情分析：综合法、分析法、比较法证明不等式是高考考查的热点，题型仍将以解答题为主．
学科素养：通过不等式的证明考查逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．
名称 作差比较法 作商比较法
理论 依据 a>b a－b>0 a0，>1 a>b b<0，>1 a适用 类型 适用于具有多项式特征的不等式证明 主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明
证明 步骤 作差→变形→判断符号→得出结论 作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论
2.综合法和分析法
(1)综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．
(2)分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
二、必明3个常用结论
1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．
2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等．
3．几个重要不等式
(1)≥2(a，b同号)；
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　综合法、分析法证明不等式　[基础性、应用性]
[例1]　已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
听课笔记：
反思感悟　用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、 条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
【对点训练】
设不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证：＞1.
考点二　反证法证明不等式　[基础性、应用性]
[例2]　若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：＜2和＜2中至少有一个成立．
听课笔记：
反思感悟　利用反证法证明问题的一般步骤
(1)否定原结论；
(2)从假设出发，导出矛盾；
(3)证明原命题正确．
【对点训练】
已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a，b，c＞0.
考点三　放缩法证明不等式　[基础性、应用性]
[例3]　若a，b∈R，求证：.
听课笔记：
反思感悟　在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧，常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如＜＞＜＞.上面不等式中k∈N*，k＞1.
(2)利用函数的单调性．
(3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则＜”．
[提醒]　在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．
【对点训练】
设n是正整数，求证：＋…＋＜1.
第二节　不等式的证明
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝.
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
所以≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
对点训练
　解析：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝
由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，即A＝{x|－1＜x＜1}．
(2)要证＞1，只需证|1－abc|＞|ab－c|，
只需证1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，只需证1－a2b2＞c2(1－a2b2)，
只需证(1－a2b2)(1－c2)＞0，
由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立，
综上，＞1.
考点二
例2　证明：假设＜2和＜2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x.
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知条件x＋y＞2矛盾，
因此＜2和＜2中至少有一个成立．
对点训练
证明：(1)设a＜0，因为abc＞0，
所以bc＜0.
又由a＋b＋c＞0，则b＋c＞－a＞0，
所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，与题设矛盾．
(2)若a＝0，则与abc＞0矛盾，
所以必有a＞0.
同理可证：b＞0，c＞0.
综上可证a，b，c＞0.
考点三
例3　证明：当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，
由0＜|a＋b|≤|a|＋|b| ，
所以＝
≤＝
＝
≤.
对点训练
证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1，2，…，n)，
得＜.
当k＝1时，＜；
当k＝2时，＜；
…
当k＝n时，＜，
∴＝＋…＋＜＝1.
所以原不等式成立．