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构成空间几何体的基本元素
学习目标 核心素养
1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．（重点） 2．初步了解空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．（重点） 3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．（难点） 1．通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．借助空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.
【学习过程】
一、初试身手
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B[球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]
2．下列关于长方体的叙述不正确的是（ ）
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
A[A中只有移动相同距离才能形成长方体．]
3．下列说法正确的是________．
（1）长方体是由六个平面围成的几何体；
（2）长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
（3）长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．
（2）（3）[（1）错．因长方体由6个矩形（包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；（2）正确；（3）正确．]
二、新知探究
平面概念的理解
【例1】下列判断正确的是________．
①平面是无限延展的；
②一个平面长，宽；
③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；
④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．
①④[①正确．平面是无限延展的．
②不正确．平面没有大小．
③不正确．平面没有厚薄．
④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．]
从运动观点认识几何体
【例2】如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
① ② ③
[思路探究]线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
[解]
① ② ③
长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示]水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示]面可以列举如下：
平面，平面，平面，平面，平面，平面；
线可以列举如下：
直线，直线，直线，直线，直线，直线等；
点可以列举如下：
点A，点，点B，点，点C，点，点D，点，点，点，点，点；
它们共同组成了课桌这个几何体．
【例3】在长方体中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
（1）与直线平行的平面有哪几个？
（2）与平面平行的平面有哪几个？
[思路探究]观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] （1）与直线平行的平面有平面ABCD，平面.
（2）与平面平行的平面为平面.
1．（1）与直线垂直的平面有哪几个？
（2）与平面垂直的平面有哪几个？
[解]（1）有平面，平面.
（2）有平面，平面，平面，平面AC.
2．本例中与棱相交的棱有哪几条？它们与棱所成的角是多少？
[解]有，，，.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱所成角都是.
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面与面之间的距离？
[解]，，BC，AD的长均可以表示．
三、学习小结
1．几何体
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
2．长方体
长方体可以看作由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体．
（1）长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面，它共有6个面．
（2）长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有12条棱．
（3）长方体的顶点：棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点，它共有8个顶点．
3．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
4．平面及其表示方法
（1）平面的概念：
平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．
（2）平面的表示方法：
图形表示 在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的
符号 表示 平面一般用希腊字母，，…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名
5.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
（1）
（2）
（3）面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体．
6．空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系．
7．空间中直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内；
（2）直线与平面平行：直线与平面没有公共点；
（3）直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点．
①直线与平面垂直：
图1
如图1，观察直线和平面AC，我们看到直线和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与垂直．直线给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线和平面AC垂直，点A为垂足．记作直线平面AC.直线称作平面AC的垂线，平面AC称作直线的垂面．
②点到平面的距离：
在上图1中，容易验证，线段为点到平面AC内的点所连线段的最短的一条．线段的长称作点到平面AC的距离．
8．空间中平面与平面的位置关系
（1）两个平面相交：
两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．
(2)两个平面平行：
如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．
如图1，在长方体中，如果面ABCD和面分别作为长方体的底面，则棱，，，都与底面垂直且等长，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离．
四、精炼反馈
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．（ ）
（2）直线的移动只能形成平面．（ ）
（3）平静的太平洋就是一个平面．（ ）
[答案]（1）√
（2）×
（3）×
[提示]（1）正确．
（2）直线移动可能形成曲面，故错误．
（3）平面是没有大小的，故错误．
2．下列结论正确的个数有（ ）
①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．
A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
B[只有⑤不正确．]
3．线段AB长为，在水平面上向右移动后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动后记为，再将沿水平方向向左移动后记为，依次连接构成长方体.
（1）该长方体的高为________cm；
（2）平面与平面间的距离为________cm；
（3）点A到平面的距离为________cm.
（1）3
（2）4
（3）5[如图，
在长方体中，，，，
∴长方体的高为；平面与平面之间的距离为；点A到平面的距离为.]
4．如图，画出（1）、（2）中L围绕l旋转一周形成的空间几何体．
（1） （2）
[解]（1）L绕直线l旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图（1）；（2）L绕直线l旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图（2）．
（1） （2）
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