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第四节　直线、平面垂直的判定与性质
1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理.
2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题.
1．直线与平面垂直
(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角α的范围：.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
(1)两个重要结论
①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
(2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．
(3)三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
1．(人教A版必修第二册P161·T2改编)(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　 )
A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
答案：BD
2．(人教A版必修第二册P158·T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　 )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
答案：D
3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对.
答案：7
4．(湘教版必修第二册P173·T2改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________.
答案：45°
5．(人教A版必修第二册P152·T4改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案：(1)外　(2)垂
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　与线、面垂直有关命题的判定　
[题点全训]
1．(2021·太原三模)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是(　 )
A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
解析：选D　对A，若m∥n，m∥α，n∥β，则α，β平行或相交，故A错误；对B，若α∥β，m α，n β，则m，n平行或异面，故B错误；对C，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β平行或相交，故C错误；对D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．
2.(2021·浙江高考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　 )
A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
解析：选A　如图，连接AD1.因为四边形ADD1A1是正方形，且M是A1D的中点，所以点M是AD1的中点，A1D⊥AD1.又AB⊥平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABD1.又D1B 平面ABD1，所以A1D⊥D1B，所以B错误．由图易知直线A1D与直线D1B异面，所以C错误．因为M，N分别是AD1，D1B的中点，所以MN∥AB.又MN 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，所以A正确．取AA1的中点E，连接NE，EB，ED1，ED，EB1，B1D，则B1D交D1B于点N.易证EB＝ED1，ED＝EB1.又N是D1B，B1D的中点，所以EN⊥D1B，EN⊥B1D.又D1B∩B1D＝N，所以EN⊥平面BDD1B1.而MN∩NE＝N，所以MN与平面BDD1B1不垂直，所以D错误．故选A.
3.(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，给出下列结论正确的是(　 )
A．AD∥平面PBC
B．平面PAC⊥平面PBD
C．平面PAB⊥平面PAC
D．平面PAD⊥平面PDC
解析：选ABD　由四边形ABCD为正方形，可得AD∥BC，∵AD 平面PBC，BC 平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴A正确．在正方形ABCD中，AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD 平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD，∴B正确．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，显然∠BAC＝45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立，∴C不正确．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵CD 平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC，∴D正确．
[一“点”就过]
解决空间中线面、面面垂直问题的方法
(1)依据定理得出结论；
(2)可结合符合题意的图形作出判断；
(3)否定命题时只需举一个反例．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　直线与平面垂直的判定与性质　
[典例]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．
(1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.
(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1-ADF的体积．
[解]　(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD 底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.又B1F 平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.由题意，可知C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∠B1C1F＝∠FCD＝90°，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.又AD⊥B1F，AD，FD 平面ADF，且AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF.
(2)由(1)知AD⊥平面B1DF，CD＝1，AD＝2，在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝＝.因为FD⊥B1D，所以Rt△CDF∽Rt△BB1D，所以＝，即DF＝×＝，所以V＝V＝S×AD＝××××2＝.
[方法技巧]　判定线面垂直的四种方法
[针对训练]
如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⊥CD，DA＝DC＝DE＝2，EA＝EC＝2，M是EA的中点．
(1)证明：AE⊥平面MCD；
(2)若CD∥AB，三棱锥M-BCE的体积为，求AB的长．
解：(1)证明：连接AC(图略)，∵AD⊥CD，DA＝DC＝2，∴AC＝2，∵EA＝EC＝2，∴△AEC为等边三角形，又DA＝DE＝2，M是EA的中点，∴AE⊥DM，AE⊥MC，又DM∩MC＝M，DM，MC 平面MCD，∴AE⊥平面MCD.
(2)∵AE⊥平面 MCD，∴AE⊥CD，又AD⊥CD，AD∩AE＝A，AD 平面ADE，AE 平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又CD∥AB，∴AB⊥平面ADE，∴AB⊥AE，AB⊥DM，又AE⊥DM，AB∩AE＝A，AB 平面ABE，AE 平面ABE，∴DM⊥平面ABE，且DM＝.∵CD∥AB，∴点C到平面ABE的距离等于点D到平面ABE的距离，连接BD(图略)，则V三棱锥M-BCE＝V三棱锥C-BME＝V三棱锥D-BME.由V三棱锥D-BME＝×S△BME×DM＝××S△ABE×DM＝×××2×AB×＝，解得AB＝1.
重难点(二)　平面与平面垂直的判定与性质　
[典例]　如图所示，圆锥的侧面积是底面积的2倍，AB为⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点．
(1)证明：平面SAP⊥平面SOP；
(2)已知OS＝，当三棱锥S-APO的体积最大时，求点B到平面SAP的距离．
[解]　(1)证明：∵SO垂直于圆锥的底面，AP在圆锥的底面内，∴SO⊥AP，又AO为⊙M的直径，∴PO⊥AP，∵SO∩PO＝O，SO 平面SOP，PO 平面SOP，∴AP⊥平面SOP, 又AP 平面SAP，∴平面SAP⊥平面SOP.
(2)设圆锥的母线长为l，底面半径为r，∴圆锥的侧面积为πrl，底面积为πr2，由2πr2＝πrl，得l＝2r，∴AB＝AS＝BS，∴△ABS为正三角形，又SO＝，∴r＝1，l＝2.连接MP(图略)，在三棱锥S-APO中，∵OS＝，∴△AOP面积最大时，三棱锥S-APO的体积最大，此时MP⊥OA，∴AP＝OP＝.过O作OH⊥SP于点H(图略)，则OH＝＝.∵平面SAP⊥平面SOP，∴OH⊥平面SAP，∴OH即为点 O到平面SAP的距离，∵点O为AB的中点，∴点B到平面SAP的距离为2OH＝.
[方法技巧]
1．证明面面垂直的方法
定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题
定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决
2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 　　
[针对训练]
如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若PA＝PC，求三棱锥P-ABC的体积．
解：(1)证明：如图，取AC的中点O，连接BO，PO，因为△ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝.因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1.因为PB＝2，所以PO2＋BO2＝PB2，所以PO⊥OB.因为AC∩PO＝O，AC，PO 平面PAC，所以BO⊥平面PAC.又BO 平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，所以PA＝PC＝.由(1)知BO⊥平面PAC，所以VP-ABC＝VB-PAC＝S△PAC·BO＝××××＝.
重难点(三)　平行、垂直关系的综合应用　
[典例]　如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.
(1)求证：CD⊥AP；
(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.
[证明]　(1)因为AD⊥平面PAB，AP 平面PAB，所以AD⊥AP.又AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD 平面ABCD，所以CD⊥AP.
(2)由(1)知CD⊥AP，又因为CD⊥PD，PD∩AP＝P，PD 平面PAD，AP 平面PAD，所以CD⊥平面PAD　①.因为AD⊥平面PAB，AB 平面PAB，所以AB⊥AD.又AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP 平面PAD，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD　②.由①②得CD∥AB，因为CD 平面PAB，AB 平面PAB，所以CD∥平面PAB.
[方法技巧]
有关立体几何综合问题的解题方法
(1)三种垂直的综合问题，一般通过做辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直的性质及判定的综合应用．　　
[针对训练]
如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°.M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．
(1)求证：CD∥平面MNQ；
(2)求证：平面MNQ⊥平面CAD.
证明：(1)在△ACD中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以CD∥平面MNQ.
(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，所以MN⊥AD.因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN 平面ABD，所以MN⊥平面CAD，又MN 平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面CAD.
垂直关系中的折叠问题
在解决折叠问题时，容易混淆折叠前后变化的量与不变的量，出现这一情况的原因就是空间想象能力不足．
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[典例]　如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．
(1)求证：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．
[解]　(1)证明：在题图1中，因为BE＝AB＝CD且BE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形．如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，所以点O是BD的中点，又点M为棱PB的中点，所以OM∥PD，因为PD 平面MCE，OM 平面MCE，所以PD∥平面MCE.
(2)在题图1中，因为四边形EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AD＝BC，所以AD＝DE，因为∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥平面EBCD.由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝，所以OM＝PD＝AD＝，S△BCE＝S△ADE＝1，所以V三棱锥M-BCE＝S△BCE·OM＝.
解决折叠问题的关键有两点：①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；②分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变．　　
[针对训练]
如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且AE＝BF＝AB＝1，将△ADE沿AD折起，同时将△BCF沿BC折起．使得E，F两点重合为点P.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求点D到平面PBC的距离h.
解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB，又AD⊥PA，且PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AD 平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)连接BD，过点P作PO⊥AB交AB于O，如图所示，由(1)知，平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PO⊥平面ABCD，且PO＝，所以V三棱锥P-BCD＝×PO×S△BCD＝××＝.由(1)知，AD⊥平面PAB，因为BC∥AD，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.因为V三棱锥P-BCD＝V三棱锥D-PBC，所以×S△PBC×h＝，即××1×1×h＝，解得h＝，所以点D到平面PBC的距离h＝.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视线面垂直定义)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　 )
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．
2．(忽视位置关系中的分类讨论)已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　 )
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．有一个或无数多个 D．不存在
解析：选B　当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线不互相垂直时满足条件的平面有0个．
3．(不会构造模型解题)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(　 )
A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
B．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m∥α，n∥α，则m∥n
解析：选B　在如图所示的正方体中依次判断各个选项．A选项，面ABCD⊥面ADD1A1，AA1⊥面ABCD，此时AA1 面ADD1A1，可知A错误；B选项，m∥α，则α内必存在直线，使得m∥l，又n⊥α，则n⊥l，可知n⊥m，可知B正确；C选项，取AA1和DD1中点E和F，可知A1D1∥面ABCD，EF∥面ABCD，A1D1，EF 面ADD1A1，此时面ADD1A1⊥面ABCD，可知C错误；D选项，AA1∥面BCC1B1，AD∥面BCC1B1，此时AA1∩AD＝A，可知D错误．
4.(垂直关系利用不当)如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．又BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
答案：4
二、融会贯通应用创新题
5.(借助数学文化)《九章算术》卷五《商功》中，记载了这样一个问题：“今有圆堢壔()……”这里所说的圆堢壔就是圆柱形土筑小城堡．如图，一圆堢壔的轴截面是边长为4的正方形ABCD，点E为上底面圆周上一个动点(与C，D点不重合)，则三棱锥B-ACE外接球的表面积为________．
解析：如图，作点E在下底面上的射影F，连接EF，AF，BF，则EF⊥平面ABF，连接DE，将三棱锥B-ACE补形成直三棱柱ABF-DCE，则三棱锥B-ACE的外接球也就是直三棱柱ABF-DCE的外接球．
取AC的中点O，
显然，O为直三棱柱ABF-DCE外接球的球心．
设该三棱柱的外接球半径为R，由题意可得R2＝2＋2＝22＋22＝8，即三棱锥B-ACE外接球的半径R＝2，所以所求外接球的表面积S＝4πR2＝4π×(2)2＝32π.
答案：32π
6．(强化开放思维)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.(用序号表示)
解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③ ①或①③ ②.
答案：②③ ①(或①③ ②)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1.如图，如果MC垂直于菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　 )
A．平行　　　　　 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
解析：选C　因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD垂直但不相交．
2．(多选)对于不同直线m，n和不同平面α，β，有如下四个命题，其中正确的是(　 )
A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β
B．若m⊥α，m∥n，n β，则α⊥β
C．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β
D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
解析：选BC　若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能相交，可能平行，故A不正确；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n β，所以α⊥β，故B正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，故D不正确．
3．(2021·河南九师联盟二模联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2,2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　设正方体的边长为a，则a3＝16，故a＝2，即AB＝2，∴A1C1＝a＝4，连接C1P，C1P＝＝＝2，又∵A1P＝2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP，可知AC⊥平面BDD1B1，则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角，在直角三角形CPO中，sin∠CPO＝＝＝.
4．(多选)在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点(不含端点)，则下列说法不正确的是(　 )
A．不存在E，F，使得EF⊥CD
B．存在E，使得DE⊥CD
C．存在E，使得DE⊥平面ABC
D．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF
解析：选ABC　为了方便解题，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示．连接HG，OD，对于选项A，分别取AB，CD的中点E，F，则易知EF⊥CD，所以选项A不正确；对于选项B，在正方体中，易知CD⊥平面ABHG，因为过点D且与平面ABHG平行的平面不经过点E，所以不存在点E，使得DE⊥CD，故选项B不正确；对于选项C，在正方体中，易证OD⊥平面ABC，所以不存在E，使得DE⊥平面ABC，故选项C不正确；对于选项D，设OD与平面ABC的交点为K，连接CK，当平面CDK与AB的交点为E，F为CD上任意一点(不含端点)时，平面CDE⊥平面ABF，故选项D正确．
5．(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　 )
解析：选BC　设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN，由正方体SBCN-MADT可得SM⊥平面ADTM，而OQ 平面ADTM，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面SNTM，又MN 平面SNTM，故OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，OA，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，PO＝＝＝，OQ26.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.
解析：连接A1C1(图略)，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝.
答案：
7.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP 平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.
答案：AB，BC，AC　AB
8．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.∵DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.∵A1C1 平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1.∵A1C1⊥A1B1，A1A 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1.∵B1D 平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵B1D⊥A1F，A1C1 平面A1C1F，A1F 平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F.∵B1D 平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
10.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
解：(1)证明：连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，又BC 平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F 平面A1EF，所以BC⊥平面A1EF.又EF 平面A1EF，因此EF⊥BC.
(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，EG 平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由(1)得BC⊥平面EGFA1，又BC 平面A1BC，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于点O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝.由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，所以cos∠EOG＝＝.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
二、重点难点培优训练
1.(2021·大连二模)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段 B1C上运动，则(　 )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．直线AP∥平面A1C1D
C．三棱锥P-A1C1D的体积为定值
D．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，))
解析：选ABC　A：如图(1)，由正方体的性质，BD1在平面A1B1C1D1，ADD1A1上的射影分别为B1D1，AD1，而B1D1⊥A1C1，AD1⊥A1D，则BD1⊥A1C1，BD1⊥A1D，又A1C1∩A1D＝A1，所以BD1⊥平面A1C1D，正确；B：如图(2)，连接AB1，AC，同A选项可证BD1⊥面AB1C，所以面AB1C∥面A1C1D，而AP 面AB1C，则AP∥平面A1C1D，正确；C：P在线段 B1C上运动，由B知B1C∥面A1C1D，所以三棱锥P-A1C1D的体积为定值，正确；D：由正方体性质有A1D∥B1C，即AP与A1D所成角等于AP与B1C所成角，所以角的取值范围是，错误．故选A、B、C.
2.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(　 )
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
解析：选ACD　因为PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，所以平面ABC⊥平面PAC，故D正确；因为B为圆周上不与A，C重合的点，AC为直径，所以BC⊥AB，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥PA，又AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故C正确；由C项可知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以AN⊥平面PBC，又AN 平面ANS，所以平面ANS⊥平面PBC，故A正确．故选A、C、D.
3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下面四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.(用序号表示)
解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β，又m⊥α，所以α⊥β，即①③④ ②；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，因为α⊥β，n⊥β，所以n∥α，又m⊥α，所以m⊥n，即②③④ ①.
答案：①③④ ②(或②③④ ①)
4．如图(1)，四边形ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点．现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP，如图(2)所示．
(1)证明：BP⊥平面DCP；
(2)若BC＝2，当三棱锥D-BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．
解：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BCP，四边形ABCD是正方形，平面ABCD∩平面BCP＝BC，所以DC⊥平面BCP.因为BP 平面BCP，所以BP⊥DC.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC，又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP.
(2)当点P位于的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D-BPC的体积也最大．如图，连接PE，DE，因为BC＝2，所以PE＝1，所以△BEP的面积为×1×1＝，所以三棱锥D-BEP的体积为××2＝.因为BP⊥平面DCP，所以BP⊥DP，DP＝＝＝，△BDP的面积为××＝.设E到平面BDP的距离为d，由××d＝，得d＝，即E到平面BDP的距离为.

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