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不等关系与不等式（知识讲解）
一、，
不等关系与不等式
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的.我们用数学符号“”、“>”、“<”、“≥"“≤”连
接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式，
对于任意两个实数a和b,在a=b,4>b,a<三种关系中有且仅有一种关系成立
当我们没有任何度量工具时，要确定高矮差不多的甲、乙两个同学身高之间的不等关系，所采用
的方法是：让他们背靠背地站在同一高度的地面上，这两个同学身高之间的不等关系便一目了
然.在数学中我们比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这种方法就是在研究不等
式中最基本也是最常用的方法：作差法
作差法的等价内容如下：
a-b>0÷a>bi
a-b<0÷aa-b=0÷a=b.
下面我们透过两道例题来体验一下作差法：
(1)比较2-和x一2的大小
(2)比较x3与x2-龙+1的大小
答案
见解析.
解析
(1)(x2-x)-(-2)=2-2+2=(x-1)2+1≥1>0.
(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+龙-1=x2(x-1)+(e-1)=(x2+1(e-1)
因为x2+1>0恒成立，故有：
@当x>1时，x3-(2-x+1)=(x2+1)(x-1)>0,所以3>22-x+1;
②当x=1时，23-(2-x+1)=(2+1)(x-1)=0,所以x3=x2-x+1
③当<1时，x3-(2-x+1=(x2+1)(x-1)<0,所以x3第1页（共4页)
2
已知a>b>c,试比较a2b+b2c+c2a与ab2+bc2+ca2的大小.
答案
a26+62c+c2a ab2 +bc2+ca2.
解析
.当a>b>时，
a28+62c+c2a-ab2-bc2-ca2 a2(6-c)+bc(b-c)-a(62-c2)
=(6-c[a(a-b)-c(a-b1=(a-)·(b-c·(a-c>0,
..a26+62c+c2a ab2 +bc2 ca2.
上述两个例题的求解，是借助因式分解和应用配方法（配凑完全平方式）完成的，这两种方法是
代数式变形时经常使用的方法，同学们应该熟练掌握·
【拓展】如果两个实数或者代数式同号，也可以尝试利用作商法来比较大小，比如下例：
3
设a>0,b>0,且a≠b,试比较ab与a的大小.
答案
abbabba.
解析
=a=(g
a46
abba
当a>b>0时，号>1，a-b>0,则(g>1,
于是a>a;
当6>a>0时，0<8<1，a-6<0,则(g>1,
于是a>a.
综上所述，对于不相等的正数a,b,都有a“>a.
二、
不等式的性质
在初中我们学习了不等式的三条基本性质.事实上，不等式还具有下面的一些重要性质：
性质1如果a>b,那么bb.
性质2如果a>b,且b>c,则a>c.
第2页（共4页)不等关系与不等式（知识讲解）
一、
不等关系与不等式
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的.我们用数学符号“”、“>”、“<”、“≥"“≤”连
接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式：
对于任意两个实数a和b,在a=b,4>b,a<三种关系中有且仅有一种关系成立
当我们没有任何度量工具时，要确定高矮差不多的甲、乙两个同学身高之间的不等关系，所采用
的方法是：让他们背靠背地站在同一高度的地面上，这两个同学身高之间的不等关系便一目了
然.在数学中我们比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这种方法就是在研究不等
式中最基本也是最常用的方法：作差法
作差法的等价内容如下：
a-b>0÷a>bi
a-b<0÷aab=0÷a=b.
下面我们透过两道例题来体验一下作差法：
(1)比较e2-e和-2的大小.
(2)比较x3与x2-龙+1的大小
已知a>b>c,试比较a2b+b2c+c2a与ab+bc2+ca2的大小.
上述两个例题的求解，是借助因式分解和应用配方法（配凑完全平方式）完成的，这两种方法是
代数式变形时经常使用的方法，同学们应该熟练掌握
【拓展】如果两个实数或者代数式同号，也可以尝试利用作商法来比较大小，比如下例：
3
设a>0,b>0,且a≠b,试比较a与a6的大小.
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二、不等式的性质
在初中我们学习了不等式的三条基本性质.事实上，不等式还具有下面的一些重要性质：
性质1如果a>b,那么bb.
性质2如果a>b,且b>c,则a>c.
性质3如果a>b,则a+c>b+c.
推论1不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边·
推论2如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
更一般的情况：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向：
性质4如果a>b,c>0,则ac>be;如果a>b,c<0,则ac推论1如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
上面的推论可以推广为更一般的推论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向，
利用这个结论可以导出下面的推论2，请同学们自己证明一下，
推论2如果a>b>0,则an>”(m∈N*,n>1)
推论3如果a>b>0,则a>(m∈N*,n>1)
应用不等式的性质，证明下列不等式：
(1)已如>6，b>0,求证：<名
a
(2)已知a>b,cb-d:
(3)已知a>b>0,0名.
【补充说明】
(1)利用推论3可以解决比较无理数大小或者根式大小的问题，如比较实数1+√5和2+√的大
小，可以比较它们的平方
(2)要注意不等式的描述是单向的还是双向的，即对于性质3，反过来也成立，但是推论2之后
的性质和推论都是单项成立的，请同学们在应用的时候一定要注意.
4
若15
已知a>b>c>1,比较下列各组数的大小：
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