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基本不等式（知识讲解）
课程要求：
1.理解均值不等式的内容、变形以及证明方法；
2.能够利用均值不等式及其变形解决简单的求解最值问题，不等式证明等问题：
3.利用均值不等式解答一些简单的实际问题
(二元)均值不等式
对于给定的两个正数a,b,我们把a十叫做正数a,的算术平均数，把√a叫做正数a,的几何平均
2
数
从数列的角度讲，算术平均数的定义和等差中项的定义一致；
可几何平均数的定义却不同于等比中项的定义（你发现了它们二者的区别了么？）
对于正数49来说，算术平均数是，几何平均数是6，此时算术平均数大于几何平均数：
对于正数3,5来说，算术平均数是4，几何平均数是√15，此时算术平均数仍然大于几何平均数；
上面两例的结果是巧合还是必然呢？我们从一般角度来研究一下：
设a,b>0,
a+b-√而=a+b-2W画_(a-v同
2
2
-≥0，当且仅当√a=√，即a=时，等号成立，
2
我们将上面的结论称为均值不等式（均值定理）·
均值不等式的语言表述为：
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数·
这个不等式在证明不等式，求函数最值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式.
进一步，我们可以由基本不等式得到如下的结论：
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值·
【补充说明】
(1)均值不等式的应用前提是4，是两个正数：
①若a,异号，则a,b不存在几何平均数，均值不等式无从谈起；
②若a,同为负数，则a十b
2
<0而v@d>0,显然不满足均值不等式：
第1页（共9页）
③若a,有一个为0，结论太过明显，无需用均值不等式研究，
(2)两个变量的和或者积为定值时方可利用均值不等式求出另一者的晨值：如对于：∈(0，》
,求解x(1一2x)的最大值，此时若将x与1一2看成两个整体，尽管他们满足均为正数，但是其和
为1一无，并不是定值，无法求其最大值；需要将其作适当的配凑：x(1一2知)=
2x1-2m）,对
2
于分子2c(1-2x),此时满足其和为2c+(1-2x)=1为定值，故可利用均值不等式求其最大值，
(3)均值不等式生”>V种等号成立的条件是=6，因此在利用均值不等式求取最值时，最
值取得的等价条件是a=b,这一点一定要检验；
如求到=VB+9+
云的最小值时，元素√2+3和
2
均为正数，且乘积为定值，
√+3
立用均值不等式得到的结果到=√公+8+十≥2，/W公+3，？
2
=2√2也没有问题，
√2+3
但是结论y=V仔+3+，？。的最小值为2√2就是错误的，因为若要使得等号成立，需要满足
√2+3
的等价条件是两个元素相等，即√伊+3=一
2
,此方程无解，即找不到实数使得两个元素
2+3
相等，因此在利用均值不等式求解最值的时候要记得检验能否取等
当>时，2红+的最小值是(）
A.1
B.2
C.22
D.4
答案
◇
的最小值可用均值不等式，2红+左>22：左
1
解析
根据题意知，求2x十
=2,当且仅当
2x
2红=左，即z=时等号成立，故选B。
1
2
已知a>0,且ab=4,那么a+b的最小值是()·
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
B
解析
由均值不等式结合已知条件可得a+b≥2√@d=4,当且仅当a=b=2时取得等号
所以a+的最小值为4
第2页（共9页）基本不等式（知识讲解）
课程要求：
1.理解均值不等式的内容、变形以及证明方法；
2.能够利用均值不等式及其变形解决简单的求解最值问题，不等式证明等问题：
3.利用均值不等式解答一些简单的实际问题
(二元)均值不等式
对于给定的两个正数a,b,我们把a十叫做正数a,的算术平均数，把√a叫做正数a,的几何平均
2
数
从数列的角度讲，算术平均数的定义和等差中项的定义一致；
可几何平均数的定义却不同于等比中项的定义（你发现了它们二者的区别了么？）
对于正数49来说，算术平均数是，几何平均数是6，此时算术平均数大于几何平均数：
对于正数3,5来说，算术平均数是4，几何平均数是√15，此时算术平均数仍然大于几何平均数；
上面两例的结果是巧合还是必然呢？我们从一般角度来研究一下：
设a,b>0,
a+b-√而=a+b-2W画_(a-v同
2
2
-≥0，当且仅当√a=√，即a=时，等号成立，
2
我们将上面的结论称为均值不等式（均值定理）·
均值不等式的语言表述为：
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数·
这个不等式在证明不等式，求函数最值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式.
进一步，我们可以由基本不等式得到如下的结论：
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值·
【补充说明】
(1)均值不等式的应用前提是4，是两个正数：
①若a,异号，则a,b不存在几何平均数，均值不等式无从谈起；
②若a,同为负数，则a十b
2
<0而v@d>0,显然不满足均值不等式：
第1页（共6页）
③若a,有一个为0，结论太过明显，无需用均值不等式研究
(2)两个变量的和或者积为定值时方可利用均值不等式求出另一者的晨值：如对于：∈(0，》
,求解x(1一2x)的最大值，此时若将x与1-2c看成两个整体，尽管他们满足均为正数，但是其和
为1一，并不是定值，无法求其最大值；需要将其作适当的配凑：x(1一2x)=
2x1-2m）,对
2
于分子2c(1-2x),此时满足其和为2c+(1-2x)=1为定值，故可利用均值不等式求其最大值·
(3)均值不等式生”≥V种等号成立的条件是=6，因此在利用均值不等式求取最值时，最
值取得的等价条件是a=b,这一点一定要检验；
如求到=VB+9+
2
云的最小值时，元素√2+3和
均为正数，且乘积为定值，
√+3
用均值不等式得到的结果到=V公+3+2≥22+3，
2
√2+3
=2√2也没有问题，
但是结论y=V仁+S+,2一的最小值为2√2就是错误的，因为若要使得等号成立，需要满足
√2+3
的等价条件是两个元素相等，即√+3=一
2
,此方程无解，即找不到实数使得两个元素
2+3
相等，因此在利用均值不等式求解最值的时候要记得检验能否取等
当>时，2红+的最小值是(）
A.1
B.2
C.2v2
D.4
已知a>0,且ab=4,那么a+的最小值是().
A.2
B.4
C.6
D.8
3
不等式“+6
6+。≥2成立的条件是(）.
A.a∈R,b∈R
B.a、非负
C.ab≠0
D.ab0
(二元)均值不等式的拓展
给定n个正数a1,2,…,a,我们有如下定义：
将1十+…a
1
.称为a1,a2,·,an的算术平均值，记为An:
将V@14…a所
称为a1,2,…,an的几何平均值，记为Gn;
第2页（共6页）

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