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一元二次不等式及其解法（知识讲解）
课程要求：
1.理解一元二次不等式、二次函数以及一元二次方程的关系，能借助于一元二次方程的解法和
二次函数的图像求解一元二次不等式；
2.能利用一元二次不等式解决实际问题；
3.在掌握一元二次不等式解法的基础上，能够求解简单的分式不等式和高次不等式
一元二次不等式的解法
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
在学习必修一《函数的零点》一节时我们深刻体会到零点实现了数与形的沟通，因此，从函数的
观点来讲，一元二次不等式的解集可以由其对应的二次函数的图像与轴的位置关系对比得到·
比如说，一元二次不等式2-龙-2>0的解集，就是二次函数y=x2一x-2的图像在x轴上方部
分的点的横坐标的集合
因此，我们可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据
函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集
这样看来，解一元二次不等式其实就是解方程和画图像这两个工作的结合·
下面给出求解一元二次不等式的具体步骤：
1.通过恒等变形整理成一元二次不等式的标准形式，要求不等号右边为0；
2.通过判别式研究相应的一元二次方程的根的情况，若有实根，求出实根的数值；
3.画出对应二次函数的草图，这里的草图指的是只需要反映出二次函数图像的开口和与x轴交点
个数即可，对称轴，顶点坐标之类的统统不需要；
4.结合不等式符号直接由图形中读出解集
【示例】解不等式3x-1>2x2
【解析】：
步骤一：变形为一元二次不等式2x2-3x+1<0:
步骤二：判别式△=1>0，利用求根公式或者十字相乘法求出一元二次方程2x2-3x+1=0的
两根为2,1；
第1页（共6页）
步骤三：在平面直角坐标系中画出二次函数y=2x2-3+1的草图，如下：
步骤四：结合步骤一，2x2-3x+1<0的解集，就是二次函数y=2x2-3+1的图像在x轴下方
部分的点的横坐标的集合，如下图：
综上，不等式34-1>2的解集为{行<<1}
二、
高次不等式的解法
不等式最高次项的次数大于2，这样的不等式叫做高次不等式，
处理高次不等式的思路是利用因式分解或者一元二次方程求根公式把一个高次多项式等价成若干
一次因式或者二次不可约因式的乘积，借用分类讨论的思想将其转化为若干个不等式组，接下来
分别求解子不等式组，然后取并集即可，
第2页（共6页）一元二次不等式及其解法（知识讲解）
课程要求：
1.理解一元二次不等式、二次函数以及一元二次方程的关系，能借助于一元二次方程的解法和
二次函数的图像求解一元二次不等式；
2.能利用一元二次不等式解决实际问题；
3.在掌握一元二次不等式解法的基础上，能够求解简单的分式不等式和高次不等式
一元二次不等式的解法
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
在学习必修一《函数的零点》一节时我们深刻体会到零点实现了数与形的沟通，因此，从函数的
观点来讲，一元二次不等式的解集可以由其对应的二次函数的图像与轴的位置关系对比得到·
比如说，一元二次不等式2-龙-2>0的解集，就是二次函数y=x2一x-2的图像在x轴上方部
分的点的横坐标的集合
因此，我们可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据
函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集
这样看来，解一元二次不等式其实就是解方程和画图像这两个工作的结合·
下面给出求解一元二次不等式的具体步骤：
1.通过恒等变形整理成一元二次不等式的标准形式，要求不等号右边为0；
2.通过判别式研究相应的一元二次方程的根的情况，若有实根，求出实根的数值；
3.画出对应二次函数的草图，这里的草图指的是只需要反映出二次函数图像的开口和与x轴交点
个数即可，对称轴，顶点坐标之类的统统不需要；
4.结合不等式符号直接由图形中读出解集
【示例】解不等式3x-1>2x2
【解析】：
步骤一：变形为一元二次不等式2x2-3x+1<0:
步骤二：判别式△=1>0，利用求根公式或者十字相乘法求出一元二次方程2x2-3x+1=0的
两根为2,1；
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步骤三：在平面直角坐标系中画出二次函数y=2x2-3+1的草图，如下：
步骤四：结合步骤一，2x2-3x+1<0的解集，就是二次函数y=2x2-3+1的图像在x轴下方
部分的点的横坐标的集合，如下图：
综上，不等式34-1>2的解集为{行<<1}
二、
高次不等式的解法
不等式最高次项的次数大于2，这样的不等式叫做高次不等式，
处理高次不等式的思路是利用因式分解或者一元二次方程求根公式把一个高次多项式等价成若干
一次因式或者二次不可约因式的乘积，借用分类讨论的思想将其转化为若干个不等式组，接下来
分别求解子不等式组，然后取并集即可，
第2页（共5页)

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