资源简介

线性规划（知识讲解）
课程要求：
1.掌握几种不同表达形式的目标函数的几何意义：
2.解决简单的非线性约束条件或非线性目标函数下的规划问题
线性规划问题的解决方法
在生产与营销活动中，我们常常需要考虑，：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金.…），
取得最大的收益，或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务.我们把这一类问题称
为“最优化"问题.不等式的知识是解决“最优化”问题的得力工具.这一节，我们将借助上节课学习
的二元一次不等式（组）的几何表示，学习“最优化”问题中的简单“线性规划”问题·
下面我们通过实例来说明线性规划的有关问题及其求解方法
【问题】
某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料.生产甲产品1工时需要A种原料
3kg,B种原料1kg;生产乙产品1工时需要A种原料2g,B种原料2kg.现有A种原料1200kg,B种
原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问
甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
【分析】
设计划生产甲种产品工时，生产乙种产品y工时，则获得的利润总额为x=30+40y,
3x+2y≤1200
其中，满足下列条件
x+2y≤800
龙≥0
y≥0
于是问题转化为，在，满足上述条件的情况下，求表达式z=30x+40y的最大值
画出不等式组表示的平面区域OABC(图中阴影部分)，
第1页（共4页）
600
C
400
3
12:x+2y-800-0
0、
400
800
11:3x12-1200-0
令=0十，变形为测=2+后，这是斜率为-受，在抽上的截距为后的直线。
40
当变化时，可以得到一组互相平行的直线
由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线·
这说明，截距名可以由平面内的一个点的坐标唯一确定，
40
掉 服年编士
40
最大时，取最大值，
过直线3e+2g-1200=0和e+2y
截距名最大，最大值为1800.
线性规划问题的相关定义
1.在上述问题中，不等式组是一组对变量x、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次
不等式，所以又称为线性约束条件
2.我们把要求最大值的函数x=30x+40称为目标函数.
3.又因这里的x=30x十40是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数
目标函数中的变量要满足的线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示·
4·一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
5.满足线性约束条件的解(，)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域
6.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.
上述问题的可行域就是图中的阴影部分，其中可行解(200,300)为最优解.
三、
线性规划问题的相关细节
第2页（共4页）线性规划（知识讲解）
课程要求：
1.掌握几种不同表达形式的目标函数的几何意义：
2.解决简单的非线性约束条件或非线性目标函数下的规划问题
线性规划问题的解决方法
在生产与营销活动中，我们常常需要考虑，：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金.…），
取得最大的收益，或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务.我们把这一类问题称
为“最优化"问题.不等式的知识是解决“最优化”问题的得力工具.这一节，我们将借助上节课学习
的二元一次不等式（组）的几何表示，学习“最优化”问题中的简单“线性规划”问题·
下面我们通过实例来说明线性规划的有关问题及其求解方法
【问题】
某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料.生产甲产品1工时需要A种原料
3kg,B种原料1kg;生产乙产品1工时需要A种原料2g,B种原料2kg.现有A种原料1200kg,B种
原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问
甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
【分析】
设计划生产甲种产品工时，生产乙种产品y工时，则获得的利润总额为x=30+40y,
3x+2y≤1200
其中，满足下列条件
x+2y≤800
龙≥0
y≥0
于是问题转化为，在，满足上述条件的情况下，求表达式z=30x+40y的最大值
画出不等式组表示的平面区域OABC(图中阴影部分)，
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600
C
400
3
12:x+2y-800-0
0、
400
800
11:3x12-1200-0
令=0十，变形为测=2+后，这是斜率为-受，在抽上的截距为后的直线。
40
当变化时，可以得到一组互相平行的直线
由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线·
这说明，截距名可以由平面内的一个点的坐标唯一确定，
40
掉 服年编士
40
最大时，取最大值，
过直线3e+2g-1200=0和e+2y
截距名最大，最大值为1800.
线性规划问题的相关定义
1.在上述问题中，不等式组是一组对变量x、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次
不等式，所以又称为线性约束条件
2.我们把要求最大值的函数x=30x+40称为目标函数.
3.又因这里的x=30x十40是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数
目标函数中的变量要满足的线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示·
4·一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
5.满足线性约束条件的解(，)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域
6.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.
上述问题的可行域就是图中的阴影部分，其中可行解(200,300)为最优解.
三、
线性规划问题的相关细节
第2页（共7页）

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