资源简介

2.3均值不等式
教学目标
1.理解均值不等式的内容、变形以及证明方法
2.能够利用均值不等式及其变形解决简单的求解最值问题、不等式证明等问题，
二、
知识讲解
1.均值不等式的推导
对于给定的两个正数a,6,我们把a十b叫做正数a,的算术平均数，把√叫做正数a,的几何平均
2
数
对于正数4，来说，算术平均数是，几何平均数是6，此时算术平均数大于几何平均数：
对于正数3,5来说，算术平均数是4，几何平均数是√5，此时算术平均数仍然大于几何平均数；
上面两例的结果是巧合还是必然呢？我们从一般角度来研究一下：
设a,b>0,
-V=a+,2画-6，≥0，当且仅当，后=6，即a=附，等号位
我们将上面的结论称为均值不等式（均值定理）.
均值不等式的语言表述为：
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数，
这个不等式在证明不等式，求函数最值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式
进一步，我们可以由基本不等式得到如下的结论：
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值：
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值·
2.均值不等式的总结
(1)对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立.
第1页（共7页)
(2)如果是正数，那么生”≥V瓜，当且仅当：=时，有等号成立.此结论又称均值不等
式或基本不等式
若玉>0，则无+2的最小值为
2
答案
2V2
解析
.e>0
由基本不等式得：2+2≥2W2.
当且仅当x=
,即e=V2时取等号，
2
:2+2有最小值为：2V2,
故答案为2v/2
2
若2+2=1，则+的取值范围(）·
A.[0,2
B.[-2,0]
C.【-2,+o∞)
D.(-0∞，-2
答案
D
解析
本题主要考查基本不等式的用法·
2厘7<学+2-1,2w<-22,
根据指数函数的单调性可知x+y≤-2·
故选D
3
函数财（回）=（>0)的值域是
2+1
答案
解析
1
回=2+1+>0
+正≥2，当目仅当z=1时取“=”，
1
第2页（共7页）
4
设>0，那么3-1-有(）
A.最大值1
B.最小值1
C.最大值5
D.最小值-5
答案
解析
3-1-2=3-(2+1》
1
1
.花十
≥21·
=2,
3-
1
≤1，即3-
一的最大值为1
故选A·
5
已知正实数m,n满足m十n=3,则mn的最大值为
答案
9
解析
m+n)2
9
4
4
当且仅当m=n=时，等号取得。
故答案为：4
.9
3.均值不等式的常见考察形式
调和形式
【示例】已知云+y=m(e,>0),m为常数，求：+(6，为大于的常数)的最小值。
【解法】采用的是整体代换的思想：
+b=1.
能ym
(但+)=六e+n(任+)=(+++）≥
be ay
a+b+2y
a+b+2vab
第3页（共7页）2.3均值不等式
教学目标
1.理解均值不等式的内容、变形以及证明方法
2.能够利用均值不等式及其变形解决简单的求解最值问题、不等式证明等问题，
二、
知识讲解
1.均值不等式的推导
对于给定的两个正数a,6,我们把a十b叫做正数a,的算术平均数，把√叫做正数a,的几何平均
2
数
对于正数4，来说，算术平均数是，几何平均数是6，此时算术平均数大于几何平均数：
对于正数3,5来说，算术平均数是4，几何平均数是√5，此时算术平均数仍然大于几何平均数；
上面两例的结果是巧合还是必然呢？我们从一般角度来研究一下：
设a,b>0,
-V=a+,2画-6，≥0，当且仅当，后=6，即a=附，等号位
我们将上面的结论称为均值不等式（均值定理）.
均值不等式的语言表述为：
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数，
这个不等式在证明不等式，求函数最值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式
进一步，我们可以由基本不等式得到如下的结论：
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值：
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值·
2.均值不等式的总结
(1)对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立.
第1页（共3页)
(2)如果是正数，那么生”≥V瓜，当且仅当：=时，有等号成立.此结论又称均值不等
式或基本不等式
若玉>0，则无+2的最小值为
2
若2+2型=1，则x+的取值范围(）·
A.[0,2
B.【-2,0]
C.【-2,+o∞)
D.(-00,-2
3
函数f句=本（2>0)的值域是
4
设知>0，那么3-1-有()
A.最大值1
B.最小值1
C.最大值5
D.最小值-5
5
已知正实数m,n满足m+n=3,则mn的最大值为一
3.均值不等式的常见考察形式
调和形式
【示】已知z+V=m,>0),m为常数，求+(a妫大于利的常数)的最小值。
【解法】采用的是整体代换的思想：
(+)品e+(+》品++号+)>品
a+b+2
ba ay
a+b+2√ad
6
设a+6=2,b>0则1+
2a+
@的最小值为（)
24
B.
6
c
54
D
已知2>0，>0，且上+9=1，则2x+-的最小值为
x y
第2页（共3页)
8
已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+的最小值为(）
A.8
B.9
C.12
D.16
倒数和形式
形如a十
k(给定定义域)的形弑，
bx+c
m++。-≥2Ve+-
k
【方法】：ae+
其中第二步配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值，其和有最小值"的
压迫和指导下产生的（仍然要注意检验能香取等，即方程？伽十日=证+。的实数解是否在给定
定义域内)
9
若a>1,则a+a二1
的最小值是
10
函数f)=
-+上(>1)的最小值为
-1
公重点复述
(1)对于任意实数a,b,有a2+2
2ab,当且仅当a=时，等号成立
(2)如果a,是正数，那么4+b
√d,当且仅当a=时，有等号成立.此结论又称均值
2
不等式或基本不等式.
三、课后测评
11
若对任意x>0,+32+1≤@恒成立，则的最小值为
12
已知正实数e,满足2红+y=2,则2
+上的最小值为
第3页（共3页）

展开更多......

收起↑