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2.4均值不等式的综合应用
教学目标
1,能够利用均值不等式及其变形解决求解最值问题、不等式证明等问题
二、知识讲解
1.均值不等式
(1)对于任意实数a,b,有a2+2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立
(2)如果。，是正数，那么“士≥d,当且仅当。=时，有等号成立.此结论又称均值不等
式或基本不等式
调和形式
【示例】已知z+y=m仁，>0)，m为常数，求+(a,为大于的常数)的最小值.
【解法】采用的是整体代换的思想：
m(但+)=品e+n(任+)=a·(a+++）)≥
a+b+2
a+b+2√ad
倒数和形式
形如a十
（给定定义域）的形式，
bx+c
【方i法】：a+起。=+9+起。晋≥2√e+g起千。
其中第二步配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值，其和有最小值”的
压迫和脂导下产生的（仍然要注意检验能否取等，即方程c十9）=十。的实数解是否在给定
定义域内)
1
22
函数y=1
在∈(1，+0∞)上的最大值为
第1页（共3页）
2
设a>0,b>0,a+b+ab=24,则().
A.a+有最大值8B.a+有最小值8
C.ab有最大值8
D.ab有最小值8
3
若正数，满足花+3y=5y,则3x+4y的最小值是(）·
24
C.5
D.6
的最小值为()
A.3
C.4
D.
2
5
若实数a,6,c满足2+2=24+b,24+2+29=24++e,则c的最大值是
6
已知a>0,b>0满足a+b=ab-3,那么a+2的最小值为·
已知e>0,y>0,g2+1g8=1g2,则它+的最小值是
8
设2，是正实数，且e+划=1，则
千g+,千的最小值是
9
设正实数：，，满足2-3y+4妙-2=0.则当型取得最大值时，2+-2的最大值为(
)
A.0
B.1
c
D.3
10
已知a>b,二次三项式ax2+2xc+b≥0对一切实数恒成立，又3x0∈R,使a02+2a0+b=0,
则2+的最小值为】
a-b
三、课后测评
11
已知a,都是正实数，且4a2++ab=4,则2a+的最大值是
第2页（共3页）
12
若实数满足2+到-=1，则
一的最大值为一·
第3页（共3页）2.4均值不等式的综合应用
教学目标
1,能够利用均值不等式及其变形解决求解最值问题、不等式证明等问题
二、知识讲解
1.均值不等式
(1)对于任意实数a,b,有a2+2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立
(2)如果。，是正数，那么“士≥d,当且仅当。=时，有等号成立.此结论又称均值不等
式或基本不等式
调和形式
【示例】已知z+y=m仁，>0)，m为常数，求+(a,为大于的常数)的最小值.
【解法】采用的是整体代换的思想：
m(但+)=品e+n(任+)=a·(a+++）)≥
a+b+2
a+b+2√ad
倒数和形式
形如a十
（给定定义域）的形式，
bx+c
【方i法】：a+起。=+9+起。晋≥2√e+g起千。
其中第二步配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值，其和有最小值”的
压迫和脂导下产生的（仍然要注意检验能否取等，即方程c十9）=十。的实数解是否在给定
定义域内)
1
22
函数y=1
在∈(1，+0∞)上的最大值为
第1页（共8页）
答案
-4
解析
2=-刘2-21-)+1
y=1
1-龙
=1-+1-x
1
-2
11
=-e-0+22,
.x>1,∵8-1>0
由均值不等式得：
y≤-4.
2
设a>0,b>0,a+b+ab=24,则()
A.a+有最大值8
B.a+b有最小值8
C.ab有最大值8
D.ab有最小值8
答案
◇
解析
方法：由均值不等式可知b4
所以24-(a+)≤a+
4
即(a+)2+4(a+b)-96≥0
所以[(a+b)+12][(a+b)-8)≥0
故a+b≤-12（舍去）或a+b≥8.
方法二：法一
a+b≥2ad,故原式a+b+ab=24≥2yad+ab,
则（√a)+2√d-24≤0，解得0<√ad≤4，故ab≤16，当且仅当a=b=4时取到等号.
由≤（告，即4≤a6+(生）
则(a+b)2+4(a+b)-96≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=b=4时取到等号.
故a+的最小值为8，ab的最大值为16，都在a=b=4时取到.
法二
a+b+ab=24→(a+1)(b+1)=25,
于是(a+1)+(6+1)≥2√a+1)(6+1)=10,当目仅当a+1=6+1=5时取到等号，
故a+b≥8，ab=24-(a+b)≤16，都在a=b=4时取到等号.
第2页（共8页）
法三：
24-a
a+b+b=24→b=1+a
24+a2
"a+b=
24+a=
1+a
1+a
=1+a)+1+a
25-2≥8，当且仅当a+1=。1时取等
号
而a6
24-.a=26-
1+a
[a++a
≤16，当且仅当a+1=25时取等号.
a+1
3
若正数，满足e十3则=5y,则3x十4y的最小值是（），
24
8
B.6
C.5
D.6
答案
c
解析
.正数，满足m十3y=5ay,
3
1
=1,
:a+4g=(层+司6a+4=号+号+贤
3
就8z+市+A
5y
5
+2×
12y.3m=5,
5x by
当且仅当”-时取等号，
5y
.3x+4的最小值是5.
故选0.
4
若正数，(+》+(+动》
112
的最小值为()】
7
A.3
.2
C.4
9
答案
C
解析
(+)+(+-+++++
1
=+++好+
=1+1+2=4
第3页（共8页）

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