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2.6三角不等式
一、
教学目标
1.理解三角不等式的内容
2.能够利用三角不等式解决简单的求解最值问题、不等式证明等问题·
二、
知识讲解
1.三角不等式
对于a,b∈R,有al-bl≤la±l≤a+·
此等号成立当且仅当：
la-=la+l=al+l,第一个等号有ab≤0且al≥bl,第二个等号有ab≥0；
lal-=la-l=al+ll,第一个等号有ab≥0且al≥，第二个等号有ab≤0.
已知函数f()=|2c-a+2x+3|,g(x)=|e-1+2.
(1)若a=1,解不等式f(x)<6,
(2)若对任意1∈R,都有2∈R,使得(1)=g(2)成立，求实数a的取值范围.
已知函数f()=e-3到+2+，t∈R·
(1)当t=1时，解不等式f(x)≥5.
(2)若存在实数a满足f(a)+|a-3<2,求的取值范围.
3
已知函数f(x)=e-2+a,g()=k+4,其中a∈R
(1)解不等式f(x)(2)任意x∈R,fx)+g()>a2恒成立，求a的取值范围.
4
已知不等式e+3到-2x-1<0的解集为(0，十∞).
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(1)求的值
2)若函数f回=：-m+:+-n(m>0有零点，求实数m的值.
三、课后测评
设函数e=女-+e+da>0,
(1)证明：f(x)≥4.
(2)若f(2)<5,求a的取值范围.
第2页（共2页）2.6三角不等式
教学目标
1.理解三角不等式的内容
2.能够利用三角不等式解决简单的求解最值问题、不等式证明等问题，
二、
知识讲解
1.三角不等式
对于a,b∈R,有al-bl≤la±l≤a+·
此等号成立当且仅当：
la-=la+l=al+l,第一个等号有ab≤0且al≥bl,第二个等号有ab≥0；
lal-=la-l=al+ll,第一个等号有ab≥0且al≥，第二个等号有ab≤0.
已知函数f()=|2c-a+2c十3，g(x)=|x-1+2.
(1)若a=1,解不等式f()<6.
(2)若对任意1∈R,都有2∈R,使得(1)=g(2)成立，求实数a的取值范围.
答案
(1){-2<花<1}.
(2)（-0∞，-5U[-1,+o0).
解析
(1)当a=1时，f()<6,即2x-1+2x+3<6,
即{≤-
或{<或≥月
11-2x-2x-3<612x+3+1-2e<612e-1+2x+3<6'
3
3
11
-2<≤-2或-2<<2或2≤<1，
,-2所以不等式f(e)<6的解集为{-2<<1
(2)因为任意1∈R,都有2∈R,使得(1)=g(x2)成立，
所以{y=f(e)}{y=9(x)},
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又f(e)=l2x-a+12x+3≥1(2x-a)-(2a+3=a+3,
g(x)=e-1+2≥2，所以a+3≥2，解得a≥-1或a≤-5，
所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5，
即(-o,-5U[-1,+∞).
2
已知函数f()=e-3+2+,t∈R·
(1)当t=1时，解不等式f()≥5.
(2)若存在实数a满足f(a)+|a-3<2,求的取值范围·
答案
(1)(-∞，-1]U[1,+∞).
(2)(-8,-4).
解析
(1)当t=1时，fx)=x-3+|2x+1,
由f(x)≥5得1x-3到+|2x+1≥5，
当：≥3时，不等式等价为-3+2z+1≥5，即3e≥7，得x≥了，此时≥3，
当专<<附时，不等式等价为-e-)+2红+1≥5，即≥1，此动≤<3，
当<-时，不等式等价为3-：-2如-1≥5，解集≤-1，得影<-1，
综上此时≥1，或≤-1，即不等式的解集为(-oo,-1]U[1,+o∞)·
(2)fa)+la-3|=2a-3+|2a+≥|2a+t-(2a-6)=t+6l,
则命题f(a)+la-3<2,等价为[f(a)+la-3lmin<2,
即t+6<2,
则-2即的取值范围是(-8，一4)·
3
已知函数f(c)=e-2引+a,g(x)=e十4，其中a∈R·
(1)解不等式f(x)(2)任意x∈R,f(x)+g(x)>a2恒成立，求a的取值范围·
答案
(1)(-1,+0∞).
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