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柯西不等式与排序不等式
知识讲解
1.柯西不等式
二维形式
(a2+2)(c2+d)≥(ac+bd2,等号成立条件：当且仅当ad=bc
一般形式
宫宫≥
等号成立条件：号-号-…=花，或a,,i=12品n冲
有一为零.
已知函数f()=√E+√6-2，求f(x)的最大值，
2
设a,b,m,n∈R,且a2+b2=3,ma十nb=3,则Vm2+n的最小值为一
3
高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发，按
以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
D
d
d
B
(1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；
(2)左图阴影区域面积用a,6,c,d表示为
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(3)右图中阴影区域的面积为√a2+2√c2+di血∠BAD;
(4)则柯西不等式用字母a,b,c,d可以表示为(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+)
请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程：一·
已知x,y,名∈R+,满足x+2y+3z=1,求x2++2的最小值
完成下列各题
(1)已知a,b∈R,求证(a++c4)(a2+2+c2)≥(a3+形+c)2
(2)
已a6,e均为正致，求证。6+e+。>。+8+e
6
已知函数f()=√3x+6,g()=√14一云，若存在实数x使f(x)+g()>a成立，求实数a的取
值范围.
二、
排序不等式
1.排序不等式
设a1≤a2≤…an≤，b1≤的≤.6≤为两组实数，q,c2,…,cn是b1,,…,bn的任一排
列，则abn+2bn-1+..+an≤a19十.+ancn≤a1b+a2b2+…+anbn
即：反序和<乱序和<顺序和
当且仅当a1=a2=.=an或b1=b2=..=bn时，反序和等于顺序和.
7
设的，c2,g,x4,6是1,2,3,4,5的任一排列，则1+22+3g+4如4十5s的最小值
是
8
若a、R、为锐角，且in2a+im2B十i如2y=1,则加e+n2+血的最小值是
8in+
siny sina
9
设a,b,c为正数，利用排序不等式证明a3+b+c8≥3abc.
第2页（共3页）
10已知a,6,c为正数，用排序不等式证明：2(a3+b+c)≥a2(6+c)+(a++2(a+).
第3页（共3页）柯西不等式与排序不等式
知识讲解
1.柯西不等式
二维形式
(a2+2)(c2+d)≥(ac+bd)2,等号成立条件：当且仅当ad=bc
一般形式
空≥(
等号成立条件：号-号-…=花，或a,,i=12品n冲
有一为零
已知函数f()=√E+√6-2，求f(x)的最大值.
答案
3
解析
由柯西不等式有(v屁+√6-2)2=（元+√2V3-四≤[12+(v②）](e+3-x)=9,
当且仅当1·V3-元=√2√屈，
即x=1时，等号成立，
所以，f(x)最大值的是3，
2
设a,b,m,n∈R,且a2+2=3,ma+nb=3,则Vm2+n2的最小值为
答案
√5
解析
由柯西不等式得，
(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+62),
第1页（共5页）
.a2+b2=3,ma+nb=3,
.∴(m2+n2)≥3，
∴√m2+n的最小值为v,
故答案为v.
3
高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发，按
以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
d
D
0
b
(1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；
(2)左图阴影区域面积用a,6,c,d表示为
(3)右图中阴影区域的面积为V2+√2+2i血∠BAD:
(4)则柯西不等式用字母a,6,c,d可以表示为(ac+bd)2≤(a2+)(c2+2).
请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程：·
答案
1:ac+bd
2:两图中的阴影部分面积相等，且sin∠BAD≤1·
解析
易知两个矩形面积和为ac+d,易知两幅图中空白面积相等，
故阴影部分面积也相等，'.ac+bd=√a2+b2Vc&+d严i血∠BAD,
两边平方可得(ac+bd2=(a2+b2)(c2+)in2∠BAD
.lsin∠BADl≤1，∴sin2∠BAD≤1，∴(ac+bc2≤(a2+b2)(c2+d2)
4
已知x,y,名∈R+,满足花+2y+3z=1,求x2++名2的最小值
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答案
1
14
解析
(位++1+4+0≥e+2划+3，得到2++2≥
故小值为品
5
完成下列各题，
(1)已知a,b∈R,求证(a+b+c4)(a2++c2)≥(a3++c)2.
(2)
已知，b,e的为正数，证6+子e+子。≥。+0+
答案
(1)
证明见解析，
(2)
证明见解析，
解析
(1)由柯西不等式得
(a+4+c4)(a2++e2)≥(WV+VV+VVE)=a3++c32得
证
(2)
(ai++)+c+e
2
2
2+2≥」
得证a+b+6+e十4a≥
9
a+6+c
6
已知函数f()=√3x+6,g(x)=√4-花，若存在实数x使f(x)+g(x)>a成立，求实数a的取
值范围·
答案
(-0o,8)
解析
存在实数使f(x)+g()>a成立，
等价于f()+g(x)的最大值大于a,
因为f()+g()=V3+6+√14-花=√原×√+2+1×√/14-花，
由柯西不等式：
第3页（共5页）

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