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2.9恒成立问题
教学目标
1理解恒成立的概念，并会分析恒成立问题的题型
2掌握恒成立问题的三种求解方法：参变分离、构造函数、变主更元
二、
知识讲解
恒成立问题是高中数学常见问题。
恒成立是指自变量，在某一区间或者任意取值时，关于的函数x)总是满足≥0或≤0，我们
把这种“总是满足"叫做恒成立。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的
取值范围的形式出现。
1.参变分离
在含参不等式中，通过恒等变形分离出参数，即：若a≥f(x)恒成立，只须求出f(x)mx,则
a≥f(x)ms;若a≤f(x)mm恒成立，只须求出f(x)mn,则a≤f(e)min,转化函数求最值
若不等式2-+k-1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数的取值范围是
答案
(-00,2]
解析
不等式x2-k+k-1>0可化为(1-x)k>1-x2,
.∈(1,2)
<
=1+8,
,∵=1+是一个增函数，
.k≤1+1=2，
实数k取值范围是(-0∞，2·
故答案为(-o0,2]
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2
已知函数f()=x2-2ax-2(a+1)(a∈R).
(1)求证：函数f(x)的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B,并求此两交点之间距离的最小
值·
(2)若f(e)+3≥0在区间(-1，十o∞)上恒成立，求实数a的取值范围.
答案
(1)2.
(2)a≤√2-1.
解析
(1)f()=x2-2ax-2(a+1)(a∈R),
,∵△=4a2-4×(-2)(a+1)=4(a+1)2+4>0恒成立，
∵函数f()的图象与轴恒有两个不同的交点A、B,
设A(1,0),B(2,0),则1十2=2a,212=-2(a+1),
则|AB2=(x1+2)2-412=4(a+1)2+4≥4（当且仅当a=-1时取等号），
.'ABlmin =2.
(2)若f(x)+3≥0在区间(-1，+∞)上恒成立，
则x2-2a-2(a+1)+3=x2-2at-2a+1≥0(>-1)恒成立，
分离参数a得：2a(+1)≤2+1(>-1)恒成立，
g>-1,x+1>0,2a≤
/x2+1
22+1
2
2
8+1
=x+1++1-2≥2√+02+1-2
=2v2-2,
()
=2V2-2,
∴.a≤V2-1
3
已知集合M是满足下列性质的函数f(e)的全体：在定义域(0，+o∞)内存在0，使函数
f(o+1)≤f(0)f(1)成立.
(1)请给出一个0的值，使函数f()=上∈M.
(2)函数f(x)=x2-x-2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有0组成的集合；若不
是，请说明理由，
第2页（共6页）2.9恒成立问题
一、
教学目标
1理解恒成立的概念，并会分析恒成立问题的题型
2掌握恒成立问题的三种求解方法：参变分离、构造函数、变主更元
二、
知识讲解
恒成立问题是高中数学常见问题。
恒成立是指自变量，在某一区间或者任意取值时，关于的函数x)总是满足≥0或≤0，我们
把这种“总是满足”叫做恒成立。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的
取值范围的形式出现。
1.参变分离
在含参不等式中，通过恒等变形分离出参数，即：若4≥f(x)恒成立，只须求出f(x)mx,则
a≥f(x)ms;若a≤f(x)mm恒成立，只须求出f(x)mn,则a≤f(e)min,转化函数求最值
若不等式x2-+k-1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是
已知函数f(x)=x2-2a-2(a+1)(a∈R),
(1)求证：函数f(x)的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B,并求此两交点之间距离的最小
值·
(2)若f(e)+3≥0在区间(-1，+o∞)上恒成立，求实数a的取值范围：
3
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域(0，+o∞)内存在0，使函数
f(o+1)≤f(o)f(1)成立
(1)请给出一个0的值，使函数f()=1∈M
(2)
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函数f()=x2-龙一2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x0组成的集合；若不
是，请说明理由
(3)设函数f()=
a
∈M,求实数a的取值范围.
x2+2
2.构造函数
在求解不等式中，通过构造一次函数、二次函数、反比例函初等函数，再应用其函数的图像与性
质（主要应用单调性）来求解恒成立的问题。
4
已知关于x的不等式8x4+8(飞-2)x2-k+5>0的解集为R,求的取值范围.
5
若关于x的不等式mx2+6m+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是
6
关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)-1<0的解集是R,求实数m的取值范围.
3.变更主元法
在给出含有两个变量的不等式中，主观容易将变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参
数；或者根据所学习过的函数解析式的形式，将对应自变量的位置看成主元，而把另一个变量看
成参数，但是这样在一些问题中解题会很复杂。若根据题意，把已知取值范围的变量作为主元，
把需要求解取值范围的变量看成参数，起到降次的作用，从而简化其解题过程。
对于任意的m∈
33
不等式+mt>2m+4恒成立，则实数t的取值范围是
8
已知不等式mc2-2-m+1<0
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围，
(2)设不等式对于满足-2≤m≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
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