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基本不等式（知识讲解）
定理
对于任意实数a,b,a2+2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立
证明：a2+2-2ab=(a-)2,当a≠6时，(a-)2>0;当a=b时，(a-)2=0.
.a2+≥2ab,当且仅当a=时，等号成立.
二、
推论
如果a6,是正数，那么生”>Vd,当且仅当。=时，有等号成立.此结论又称均值不等式
或基本不等式
证明：a+b-2Wd=(V@2+(W2=(Va-V2>0,即a+b≥2√励，所以4+
2≥品
三、条件
“一正”：不等式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转
化，再运用均值不等式：
“二定”：求积xy最大值时，应看和e+y是否是定值；求和z十y最小值时，看y是否为定值
“三相等”：只有具备了均值不等式中等号成立的条件，才能使代数式取到最大或最小值.否则不
能通过均值不等式求最值·
1,考点：几乎不直接考查，多与函数、数列以及平面解析几何结合出综合题，题型变化多样，
2.意图与目的：学生需要掌握均值不等式的概念以及解题思路，理解“一正二定三相等”的含义从
而理解均值不等式的适用范围
3.重难点与易混点：
(1)已知：ab∈R+（其中R,表示正实数)，有以下不等式：
a2+b
V2
≥生
√a+6
2
≥≥，
a2+b2
2一其中2称为平方平均数，“”称为
+
术平均数，√a称为几何平均数·飞十
2,称为调和平均数·
第1页（共5页）
(2)对勾函数：
@解折式：a)=6e+。,(ad>0
②定义域：{x∈R,≠0}
③值域：（-oo,-2Wa砀U[2wad,+∞)
④图像：
y=ax
2
a
-2Jab
a心0
2ab
1
b
-2/
y=ax
a0
⑤单调性：当a>0时，f(x)的单调递增区间
(-0,-√8和(V/+o）fa)的单调递减区间
第2页（共5页)
为（√怎0）和(0，√图当<时，的单调递增区间为（√，0）和0，√图
fx)的单调
递减区间为(-0，-√得）和(V/+w）
4.知识层面：属于B难度的基本方法
四、思考题
若实数a,b满足a+b=2,则34+3的最小值是
答案
解析
.34和3都是正数，34+3≥2√34.35=2√3a+=6,
当且仅当3=3时等号成立，由a+b=2及3=35得a=b=1,即当a=b=1时，3+3的
最小值是6.
2
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与
机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18a-25(x∈N).则当每台机器运转年
时，年平均利润最大，最大值是一万元·
答案
1:5
2:8
解析
可=-+8-25=18-(e+)518-2,=8
五、备选例题集
3
已知a2+2=4,求a+的最值.
答案
-2√2≤a+b≤2√2.
第3页（共5页）基本不等式（知识讲解）
定理
对于任意实数a,b,a2+2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立
证明：a2+2-2ab=(a-)2,当a≠6时，(a-)2>0;当a=b时，(a-)2=0.
.a2+2≥2ab,当且仅当a=时，等号成立.
二、
推论
如果a6,是正数，那么生”>Vd,当且仅当。=时，有等号成立.此结论又称均值不等式
或基本不等式
证明：a+b-2Wd=(V@2+(W2=(Va-V2>0,即a+b≥2√励，所以4+
2≥品
三、条件
“一正”：不等式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转
化，再运用均值不等式：
“二定”：求积xy最大值时，应看和e+y是否是定值；求和z十y最小值时，看y是否为定值
“三相等”：只有具备了均值不等式中等号成立的条件，才能使代数式取到最大或最小值.否则不
能通过均值不等式求最值·
1,考点：几乎不直接考查，多与函数、数列以及平面解析几何结合出综合题，题型变化多样，
2.意图与目的：学生需要掌握均值不等式的概念以及解题思路，理解“一正二定三相等”的含义从
而理解均值不等式的适用范围
3.重难点与易混点：
(1)已知：ab∈R+（其中R,表示正实数)，有以下不等式：
a2+b
V2
≥生
√a+6
2
≥≥，
a2+b2
2一其中2。称为平方平均数，“，°称为
+
术平均数，√@称为几何平均数·飞十
2,称为调和平均数·
第1页（共4页）
(2)对勾函数：
@解折式：a)=6e+。,(ad>0
②定义域：{x∈R,≠0}
③值域：（-oo,-2Wa砀U[2wad,+∞)
④图像：
y=ax
2
a
-2Jab
a0
2ab
10
b
-2/
y=ax
a0
⑤单调性：当a>0时，f(x)的单调递增区间
(-0,-√8和(V/+o）fa)的单调递减区间
第2页（共4页)
为（√怎0）和(0，√图当<时，e的单调递增区间为（√，0）和0，√图
fe)的单调
递减区间为(-o,-√8和（√侣+∞）
4.知识层面：属于B难度的基本方法
四、思考题
若实数a,b满足a+b=2,则34+3的最小值是
2
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与
机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N).则当每台机器运转年
时，年平均利润最大，最大值是万元.
五、备选例题集
3
已知a2+2=4,求a+b的最值.
4
已知正项等比数列a}满足：a=a6十24s,若存在两项4，a,使得Van=4a1,则二+4
m
的最小值为()·
A
5
C25
6
D.不存在
5
求函数划=
2+10的最小值·
Va2+9
6
如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙
EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB=x米，已知围墙（包括EF)的修建费用均为
800元每米，设围墙（包括EF)的修建总费用为y元·
第3页（共4页）

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