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函数的概念（知识讲解）
映射
设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素在B中有且仅有一个元
素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射的作用下的象，记作f(z),于
是
y=f()
x称为的原象，映射f也可记为：
f:A→B
f(x)
下列对应关系中有几个是映射？
a
b
09
a
a.
a3-
将上述定义中集合A,B限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：
已知集合A到B的映射f:(,)+(2x-2,14x+2划)），那么集合A中元素(1,2)在B中的象
是
,集合B中元素(1,2)在A中的原象为
二、
函数
设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数，在集合B
中都有唯一确定的数f()和它对应，那么就称f:A→B为从数集A到数集B的一个函数，记作
y=f(e),x∈A.
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其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数
值形成的数集(f()川∈A}叫做函数的值域.因此根据函数的定义，有{f(x川x∈A}二B
【补充说明】
1、函数的定义域和值域必须均为数集，而且都不能是空集；另外，数集B的底线是能够保证包含
数集A中的所有元素经过对应关系操作之后所得到的所有数值，有额外多余的数值也完全可以
(如数集A={1,2,3),对应关系为y=2,数集B={2,3,4,5,6},此时结合定义域和对应关系得
到的值域为数集{2,4,6}，数集B中的元素3,5是多余的，但是不影响三者构成函数关系)·
2、对应的原则是可以是数集A,B中的元素一一对应（比如数集A=广，对应关系为y=x2)，
或者数集A中的多个元素对应数集B中的一个元素（比如数集A=Z,对应关系为y=x2),但是
不允许出现数集A中的一个元素对应数集B中的多个元素（比如数集A=N,对应关系为取平方
根)
3、事实上值域是由定义域和对应关系共同作用得到的，因此，确定一个函数就只需要两个要
素：定义域和对应关系·只有当两个函数的定义域和对应关系都相同的时候，二者才可以成为同
一函数，即：
(1)定义域不同，两个函数不同·
(2)对应法则不同，两个函数不同，
(3)即使定义域和值域都相同的两个函数，它们也未必是同一函数，因为函数的定义域和值域
并不能唯一确定函数的对应关系（如定义域和值域均为{0,1），对应关系可以是y=x2,可以是
y=√元，还可以是=x,还可以是y=1-.…)
3
设集合M={x0≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，下面5个图形中能表示集合1M到集合N的函数关系
的有()
.
1
12x0T12
112
③
③
④
⑤
A.①②③④
B.①②③
C.②③⑤
D.②③
4
判断下列各组中的两个函数是同一函数的为：
第2页（共4页）函数的概念（知识讲解）
映射
设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素在B中有且仅有一个元
素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射的作用下的象，记作f(z),于
是
y=f()
x称为的原象，映射f也可记为：
f:A→B
e→f(x)
下列对应关系中有几个是映射？
a
b.
a
09
a
a:
答案
2个
解析
第一个和第二个是映射关系·
将上述定义中集合A,B限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：
已知集合A到B的映射f:(,)→(2-2,14c+2划)，那么集合A中元素(1,2)在B中的象
是，集合B中元素(1,2)在A中的原象为
答案
1:(-2,18)
2(0)
第1页（共5页）
解析
花=1，y=2时2m-2刘=-2
114x+2y=18
所以B中的象是(-2,18)：
当气-时，解影=品y=高所以件的原豫为
5
16
故答案为(-2,18)，
35
16 -16
函数
设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B
中都有唯一确定的数f()和它对应，那么就称f:A→B为从数集A到数集B的一个函数，记作
y=f(x),x∈A.
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数
值形成的数集{f(x)川∈A}叫做函数的值域.因此根据函数的定义，有{f(x川x∈A}二B,
【补充说明】
1、函数的定义域和值域必须均为数集，而且都不能是空集；另外，数集的底线是能够保证包含
数集A中的所有元素经过对应关系操作之后所得到的所有数值，有额外多余的数值也完全可以
(如数集A={1,2,3),对应关系为y=2,数集B={2,3,4,5,6},此时结合定义域和对应关系得
到的值域为数集{2,4,6}，数集B中的元素3,5是多余的，但是不影响三者构成函数关系)
2、对应的原则是可以是数集A,B中的元素一一对应（比如数集A=N广，对应关系为y=x2),
或者数集A中的多个元素对应数集B中的一个元素（比如数集A=Z,对应关系为y=2),但是
不允许出现数集A中的一个元素对应数集B中的多个元素（比如数集A=N,对应关系为取平方
根)·
3、事实上值域是由定义域和对应关系共同作用得到的，因此，确定一个函数就只需要两个要
素：定义域和对应关系·只有当两个函数的定义域和对应关系都相同的时候，二者才可以成为同
一函数，即：
(1)定义域不同，两个函数不同.
(2)对应法则不同，两个函数不同·
(3)即使定义域和值域都相同的两个函数，它们也未必是同一函数，因为函数的定义域和值域
并不能唯一确定函数的对应关系（如定义域和值域均为{0,1}，对应关系可以是，=2，可以是
y=√屈，还可以是y=x,还可以是y=1一x...）.
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