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函数的三要素之值域（知识讲解）
观察法
有的函数结构步兵复杂，可以通过对解析式进行直接观察，利用一下简单函数的值域间接得到所
要求的函数的值域，比如y=√E-1的值域是-1，十o∞).
求下列函数的值域：
(1)y=3x+2(-1≤8≤1)：
(2)f(x)=2+√4-E.
答案
(1)[-1,51.
(2)[2,+o∞).
解析
(1).-1≤花≤1，.-3≤3e≤3，
∴.-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5.值域是[-1,5).
(2)f(x)=2+V4-E,∴f()≥2，
即函数f(x)=2+√4-的值域是2，十o∞).
二、换元法
运用换元的方法，将面目狰狞的目标函数等价转化为另外一种和蔼可亲的函数，从而间接求得原
函数的值域，这是一种等价转化的思想，此种方法是求解函数值域的一种极重要的方法，而且换
元的思想也是处理数学难题的一种高端思想，需要我们在接下来的学习中有意识的慢慢体会
形如y=ax+b士√ce+d(a,b,c,d∈R,ac≠0)的函数常用换元法解决，参看下例：
2
函数f代x)=x-√2c-1的值域为一
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答案
[0,+o∞)
解析
fa=2-Va-1+5,令v2z可=t,则>0，
2
v-
-t+号，te0+o)
1
对称轴为t=1
所以当t=1时y=0
所以f()∈[0，+oo).
3
求函数划=√3a+6-3ax的值域.
答案
解析
y=v8aT6-e,令v中6=（≥0），则w=-f+t+6=-t-+
4
当t=时，取得最大值空，函数的值域为(-∞，约1。
当然，上一题还有更简单有效的方法求解其值域，后面我们会具体说到
4
求函数划=一√1-2的值域
答案
1
002
解析
函数y=-V一2在定义域(-0,1上是增函数
1
11
y≤2-√1-2×2=2
1
∵.函数y=x一√/-2的值域为
,2】
三、配方法
若函数为二次函数或可间接转化为二次函数，则可以通过配方转化为给定区间求二次函数值域的
问题，此种方法多与换元法综合使用，而且，给定区间求解二次函数的值域是一项非常重要的技
第2页（共6页）
能，一定要做到熟练掌握·
求函数y=-x2+4c-2(1≤x≤4)的值域
答案
【-2,2
解析
y=-(x-2)2+2
1≤花≤4，∴当c=2时，mr=2,当c=4时，咖=-2
∴.所给函数的值域为-2,2)·
6
函数f)=-2ax2+6a(-2<龙<2)的值域是（）.
A09
B.(-20,4
c.(-20
0.(←209
答案
C
解析
作出函数f()=-2x2+6x（-2<花<2)的图像，
容易发现回在(2引上是增函数，在[，2)上是减远数，
求f-2)=-20f)=4,f()=号
注意到函数定义域不包含心=一2，所以函数的值域是
20,2】
7
求下列函数的值域：
(1)y=x-2V元+3
(2)y=x4+42+5
答案
(1)[2,+∞)
(2)[5,+o∞)
解析
(1)y=x-2V反+3=（√E-1)2+2,由观察法直接得到值域，以下略.
第3页（共6页）函数的三要素之值域（知识讲解）
观察法
有的函数结构步兵复杂，可以通过对解析式进行直接观察，利用一下简单函数的值域间接得到所
要求的函数的值域，比如y=√E-1的值域是-1，十o∞).
求下列函数的值域：
(1)y=3+2(-1≤8≤1)：
(2)f(x)=2+√4-E.
二、
换元法
运用换元的方法，将面目狰狞的目标函数等价转化为另外一种和蔼可亲的函数，从而间接求得原
函数的值域，这是一种等价转化的思想，此种方法是求解函数值域的一种极重要的方法，而且换
元的思想也是处理数学难题的一种高端思想，需要我们在接下来的学习中有意识的慢慢体会
形如y=ax+b士√ce十d(a,b,cd∈Rac≠0)的函数常用换元法解决，参看下例：
2
函数f代)=x-√2x-1的值域为
3
求函数y=√/3x+6-3x的值域.
当然，上一题还有更简单有效的方法求解其值域，后面我们会具体说到·
求函数y=x-√1-2的值域.
三、配方法
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若函数为二次函数或可间接转化为二次函数，则可以通过配方转化为给定区间求二次函数值域的
问题，此种方法多与换元法综合使用，而且，给定区间求解二次函数的值域是一项非常重要的技
能，一定要做到熟练掌握
5
求函数y=-x2+4x-2(1≤x≤4)的值域.
6
函数f(x)=-2x2+6(-2A-0y9
B.(-20,4)
c(-20
D(←20
7
求下列函数的值域：
(1)y=花-2VE+3
(2)y=x4+4x2+5
8
求函数y=√2-x2+3的值域.
9
若函数=：2--4的定义域为0，网，值域为-草-4，则m的取值范围是()
A.(0,4
B.[4
D.+
四、判别式法
形如y=
ax2+bx+c
da2+ex+f
（a,b,c,d,e,f不同时为0)的值域，常利用去分母的形式，把函数转化成关
于x的二次方程F(x,),利用此方程判别式△≥0球出的范围.
【补充说明】此种方法的应用局限性较大，针对于形如y=
a2+a+(a,b6,d,6f不同时为0
dx2+ex+f
)的函数，若自变量的范围事先给定，则无法利用此法求解，后期我们会接触到一种函数模型，
用于求解上述的问题
10
2一+3的值域。
求函数划=2一+1
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五、分离常数法
证+5a≠0)的函数，可采用分离常数的，将g十d变形为
形如y=+d
ax+b
(ae+创+d-竖-‘+。
ad-bc
ad-bc
ax +b
一。+十6，再结合的取值范围确定。：，的取值范围，从而确定函数的
ax+b
值域.
11
求函数y=(2∈-1，+)的值域.
2就+5
【补充说明】事实上，求解分子分母均为一次型的分式函数值域，利用作图的方法最为稳妥（可
以避免渐近线带来的麻烦)，重要的是我们需要体会这种变形方法的精髓，其核心思想等同于物
理学中常采用的“控制变量法”，即分子分母中都含有变量时，可以采取变量分离，将变量集中在
分母上，这样方便研究其变化趋势·
对于某些特殊形式的二次型分式，分离常数法也是有效的处理方法，例如：
y--2}-5-2一1接下来闲利用现察法客易夹解其伯城。
2+1
22+1
求函数划=2十5，（x∈(-1，+∞)的值域.
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【补充说明】事实上，求解分子分母均为一次型的分式函数值域，利用作图的方法最为稳妥（可
以避免渐近线带来的麻烦)，重要的是我们需要体会这种变形方法的精髓，其核心思想等同于物
理学中常采用的“控制变量法”，即分子分母中都含有变量时，可以采取变量分离，将变量集中在
分母上，这样方便研究其变化趋势
对于某些特殊形式的二次型分式，分离常数法也是有效的处理方法，例如：
y=+.2仁+》-5-2一】接下来利用现照法音易求解其直或
2+1
2+1
求解函数值域一直是数学中极具魅力的问题，它汇集了各种卓越的数学思想和巧妙的变性技巧，
站在金字塔的顶端为万干数学爱好者所追求，本节只讲述了一些求解函数值域的简单初级的方
法，后期我们还会学习利用函数的单调性求解值域，利用数形结合的思想作图求解函数的值域乃
至利用导数求解函数的值域
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