资源简介

单调性（知识讲解，
增函数与减函数的定义
一般地，设f(e)的定义域为I:
(1)如果对于定义域I内某个子区间D上的任意两个自变量1,2，当1<2时均有
f(c1)应区间内呈上升趋势
fx)
fx)
Mx)
X1 x2 x
(2)如果对于定义域I内某个子区间D上的任意两个自变量1,2，当1<2时均有
f(1)>f(x2),那么就说函数()在区间D上是单调减函数，如下图，增函数f(x)的图像在其对
应区间内呈下降趋势
y
fx)R、fx)
fx.)
X1
X2
x
【补充说明】
(1)“定义域内某个子区间D"说明函数的某个单调区间是其定义域的一个子集
第1页（共7页）
(2)增、减涵数的定义中的1,2需要满足三个条件：一是任意性，即不能用特殊值替代；二是
具有大小，至于谁大谁小可自行规定；三是必同属于规定的子区间D
(3)自变量取值之间的大小关系和函数值取值之间的大小关系可以正逆互推，即若f(x)是单调
增（减）函数，则f(1)2)
下列四个函数中，在(0，+o∞)上为增函数的是()·
A.f)=3-8
B.f(x)=2-3x
c.)--1
D.f(2)=-l
下列命题正确的是()·
A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在，2∈(a,),使得1<2时，有f(1)f(x)在(a,)上为增函数.
B.定义在(a,)上的函数f代x),若有无穷多对1,2∈(a,)时，使得1<2时，有f(1),那么f(x)在(a,)上为增函数
C.若f(x)在区间1上为增函数，在区间12上也为增函数，那么f(x)在1UI2上也一定为增函数，
D.若f()在区间I上为增函数且f(1)3
设函数f(x)在(-o∞，十∞)上为减函数，则(）·
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2+a)二、
单调性与单调区间
1.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是单调增（减）函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有严格的
单调性，此时区间D叫做函数y=f(x)的单调增（减）区间·
【补充说明】
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数的单调性一定是针对某一个特定区间来说的，
否则没有意义，例如函数！=2在(-oo,0]上是减函数，而在0，+∞)上是增函数
第2页（共7页)单调性（知识讲解）
增函数与减函数的定义
一般地，设f(e)的定义域为I:
(1)如果对于定义域I内某个子区间D上的任意两个自变量1,2，当1<2时均有
f(c1)应区间内呈上升趋势
fx)
fx)
Mx)
X1 x2 x
(2)如果对于定义域I内某个子区间D上的任意两个自变量1,2，当1<2时均有
f(1)>f(x2),那么就说函数()在区间D上是单调减函数，如下图，增函数f(x)的图像在其对
应区间内呈下降趋势
y个
fx)R、fx)
fx)》广
X1
X2
x
【补充说明】
(1)“定义域内某个子区间D"说明函数的某个单调区间是其定义域的一个子集
第1页（共12页）
(2)增、减涵数的定义中的1,2需要满足三个条件：一是任意性，即不能用特殊值替代；二是
具有大小，至于谁大谁小可自行规定；三是必同属于规定的子区间D
(3)自变量取值之间的大小关系和函数值取值之间的大小关系可以正逆互推，即若f()是单调
增（减）函数，则f(1)2）
下列四个函数中，在(0，+o∞)上为增函数的是()·
A.f)=3-x
B.f(a)=22-32
c.)--1
D.f()=-e
答案
解析
,f(e)=3-在(0，十o∞)上为减涵数，∴A不正确
f(间)=-3a的图象开口向上，对称箱为直线=号
·.它在(0，十∞)上先减后增，∴B不正确.
f回=十1在0，+o∞)止为增函数，0正确
f()=-x在(0，十o∞)上为减函数，D不正确·
下列命题正确的是()·
A.定义在(a,)上的函数f(x),若存在1,2∈(a,),使得1<2时，有f()f(x)在(a,)上为增函数.
B.定义在(a,)上的函数f(x),若有无穷多对1,2∈(a,)时，使得x1<2时，有f(),那么(x)在(a,)上为增函数
C.若f(x)在区间1上为增函数，在区间12上也为增函数，那么f(x)在1UI2上也一定为增函数
D.若f代x)在区间I上为增函数且f(1)答案
D
解析
由单调性的定义可知，D选项正确
3
设函数f(x)在(-∞，+o∞)上为减函数，则(）·
第2页（共12页）
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2+a)答案
解析
由题知f(x)在R上为减函数，因为a与2a之间的大小关系不确定，
a与a之间的大小关系也不确定，
所以f(a)与f(2a),f(a)与f(a)之间的大小关系也不确定，
因为a2+a≥a,所以f(a2+a)≤f(a),故A、B、C都不正确，
而a2+1-a恒大于0，所以a2+1>a,所以f(a2+1)二、
单调性与单调区间
1.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是单调增（减）函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有严格的
单调性，此时区间D叫做函数y=f(x)的单调增（减）区间.
【补充说明】
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数的单调性一定是针对某一个特定区间来说的，
否则没有意义，例如函数y=x在(-0,0]上是减函数，而在0，+∞)上是增函数
(2)有的函数时不具备单调性的，比如大名鼎鼎的狄利克雷函数则=
∫1，E∈CRQ
,再比如
10,∈Q
y=x2(:∈ )，它的定义域并非连续区间，也不能说它在定义域上具有单调性，
(3)若函数y=(x)在区间D上是单调（减）函数，那么对于任一D的子区间，函数y=()仍
是单调（减）函数
2.单调区间的写法
(1)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“U而是要用和”或者“，"连接，比如
1
y=二在区间(-∞，0)和(0，十∞)上都是减函数，但是不能说它在(-∞，0)U(0,+∞)上是减函数.具
体的区别需要看函数在端点处是否是连续的，而这种讨论比较复杂·
第3页（共12页）

展开更多......

收起↑