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奇偶性（知识讲解，
函数的奇偶性
一般地，如果对于函数f()的定义域内任意一个x,都有f(-)=一f(),那么f()就叫做奇函
数
一般地，如果对于函数f()的定义域内任意一个x,都有f(-x)=(),那么f()就叫做偶函
数
如果函数f()是奇函数或者偶函数，我们就说函数f()具有奇偶性·
【补充说明】
(1)函数奇偶性与单调性的差异：函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言，这一点与研究
函数的单调性不同，从这个意义上来说，函数的单调性时函数的局部”性质，而函数的奇偶性是
函数的“整体”性质，只有对函数的定义域内每一个x,都有f(-)=一f()(f(-)=f(x))才能
说函数是奇（偶）函数
(2)从函数的奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数有以下特点：
①其定义域关于原点对称：在奇函数和偶函数的定义中，若是其定义域内的一个数值，则一x必
然也在其中，也就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对
称，否则就不满足奇函数或者偶函数的初始条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（非奇
非偶函数).例如y=x2(e∈R)是偶函数，而在[-2,1上则无奇偶性可言.
②同为奇函数的偶函数的函数是存在的，即f()=0,但是此时仍然要满足f()定义域关于原点
对称
③若奇函数在原点有定义，则f(0)=0.
若y=(m-1)x2+2m心+n是奇函数，则m=一，n=.
答案
1:1
20
解析
由题可知”2.0→{
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2
若函数f)=一1+为奇函数，则实数的值是
答案
-1
解析
显然函数的定义域中不含0.
由奇函数的性质得f(-)=-f()，
即。+a=-(。+
取=1，得2十a=-a,.a=-1
经检验，f似)=”一1-1=-上为奇函数，合题
故a=-1.
3
已知函数f(x)=ax2+c+3a+是偶函数，且定义域为[a-1,2al,则a=一，b=一
答案
2:0
解析
f()=f(-),
.az2 +bx+3a+b=ax2-ba +3a+6,
b=0
又-a-)=2aa-专
二、
函数奇偶性的运算性质
下表是函数奇偶性的运算性质，这些运算性质均可以由奇偶性的基本定义推导而来
设(e),g(x)的定义域分别为D1,D2,则在公共定义域上，有如下结论：
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f(z)
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
g()
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
f(x)+g()
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
f()-g(e)
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
f()9()
偶函数
奇函数
奇函数
偶函数
f(g(a))
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
4
设函数f(),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(
)
A.f(x)g(x)是偶函数B.fx)g(e)是奇函数C.f(s)g(e)是奇函数D.fe)g()是奇函数
答案
解析
因为函数(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(-)=一()，9(-)=g(x)，
f(-x)9(-x)=-f(x)9(x),
故(c)g()是奇函数；所以选项A错误；
lf(-x)川g(-x)=|-f()儿g(x)=f(x)川g(x),所以f()儿g(x)是偶函数，故选项B错误：
f(-x)儿9(-川=-()川g(x)川，所以f(x)儿g(x)川是奇函数，故选项C正确；
lf〔-x)g(-川=|-f(x)g(x川=f(x)9(x)引，故f(x)g(x)是偶函数，选项D错误.
故答案为0.
5
若p(),g(x)都是奇函数，f)=ap()+g()+2在(0，+oo)上有最大值5，则f代x)在(-oo,0)上有
()
A.最小值-5
B.最大值5
C.最小值-1
D.最大值-3
答案
C
解析
p()、g()为奇函数，，f()-2=ap(x)+bg(x)为奇函数.
第3页（共11页）奇偶性（知识讲解）
函数的奇偶性
一般地，如果对于函数f()的定义域内任意一个x,都有f(-)=一f(),那么f()就叫做奇函
数
一般地，如果对于函数f()的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(),那么f()就叫做偶函
数
如果函数f()是奇函数或者偶函数，我们就说函数f()具有奇偶性·
【补充说明】
(1)函数奇偶性与单调性的差异：函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言，这一点与研究
函数的单调性不同，从这个意义上来说，函数的单调性时函数的局部”性质，而函数的奇偶性是
函数的“整体”性质，只有对函数的定义域内每一个，都有f(-x)=-f()(f(-)=f(x))才能
说函数是奇（偶）函数
(2)从函数的奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数有以下特点：
①其定义域关于原点对称：在奇函数和偶函数的定义中，若是其定义域内的一个数值，则一x必
然也在其中，也就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对
称，否则就不满足奇函数或者偶函数的初始条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（非奇
非偶函数).例如y=x2(e∈R)是偶函数，而在[-2,1上则无奇偶性可言.
②同为奇函数的偶函数的函数是存在的，即f()=0,但是此时仍然要满足f()定义域关于原点
对称
③若奇函数在原点有定义，则f(0)=0.
若y=(m-1)x2+2mx+n是奇函数，则m=一，n=
2
若函数)-，+为奇函数，则实数的值是
3
已知函数f(x)=ax2+bx+3a+是偶函数，且定义域为a-1,2a),则a=一，b=
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二、
函数奇偶性的运算性质
下表是函数奇偶性的运算性质，这些运算性质均可以由奇偶性的基本定义推导而来
设f(),g()的定义域分别为D1,D2,则在公共定义域上，有如下结论：
f()
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
g(a)
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
f(x)+g()
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
f(a)-g(x)
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
f(a).g(a)
偶函数
奇函数
奇函数
偶函数
f(g(a))
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
4
设函数f(),g(x)的定义域都为R,且(x)是奇函数，g(c)是偶函数，则下列结论正确的是(
A.f(x)g(x)是偶函数B.Ifx)儿g(x)是奇函数C.f(x)g(x)川是奇函数D.f(x)g(x)川是奇函数
5
若p(),g(x)都是奇函数，f()=ap()+g(c)+2在(0，+oo)上有最大值5，则f(x)在(-oo,0)上有
().
A.最小值-5
B.最大值5
C.最小值-1
D.最大值-3
三、
奇偶函数的图像特征
奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于轴成轴对称图形，反之亦然，
根据上面的结论，因此在研究奇（偶)函数的性质时，只需要研究函数在(-∞，0)或者(0，+o∞)上
的性质即可，然后利用结论可以得到函数在整个定义域内的性质（图像）·
根据奇偶函数图像的对称性可知，若(x,f(c)在奇函数y=f(e)的图像上，则(-，一f()也在
y=f(z)的图像上，而(c,f(c)》和(-，-f(x)》是关于原点对称的两个点（原点为其中点)，因此
不难得出奇函数的图像是由无数对这样的点构成，故整体也关于原点对称，对于偶函数，做同样
的讨论也能得出：若(x,g()在偶函数gy=g()的图像上，则(-x,g()也在u=g(x)的图像上·
第2页（共6页）

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