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指数函数的图像和性质（知识讲解）
指数函数的概念
一般地，函数y=a”(a>0且a≠1，：∈R)叫做指数函数.
对于定义要注意以下三点：
(1)定义域是R,因为指数的概念已经扩充到实数，所以在底数α>0的前提下，x可以是任意实
数
（2)规定底数a大于0且不等于1的理由：
如果a=0,当x>0时，a2恒等于0；当x≤0时a2无意义：
如果。<0，如函数划=（一4，当自变量x-时，在实数范围内函数值不存在
如果。=1，y=1=1,是一个常量，对它没有研究的必要
(3)形式上的严格性：在指数函数的定义表达式y=a中，α是常量且a前的系数必须是1，自变
量x的位置必须在指数的位置上，否则，不是指数函数，如y=2a”,y=+1等都不是指数函
数
1
若函数y=(a2-5a+5)·a是指数函数，则有()·
A.a=1或a=4
B.a=1
C.a=4
D.a>0且a卡1
二、
指数函数的图像和性质
1.指数函数的图像和性质
(1)y=a*(a>1)的图像和性质：
第1页（共6页）
v=a"
图像：
0,1)
X
定义域：R
值域：(0，+∞)
定点：(0,1)
增减性：函数在定义域R上单调递增.
(2)y=a2(0y=a
图像：
定义域：R
值域：(0，+∞)
定点：(0,1)
增减性：函数在定义域R上单调递减·
2
已知a=y5,-1,函数f回=r,若实数m,n满足m)>fm),则m,n的大小关系为
2
3
已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)，当x<0时，f(x)>1,方程y=ax+
表示的直线是（
a
第2页（共6页）
4
若函数f()=a2+b-1(a>0,4≠1)的图象经过第二、三、四象限，则()·
A.00B.a>1且6>0
C.01且6<0
设a>0,函数fa=。
=3+:是定义域为实数集R的偶函数。
(1)求实数a的值：
(2)证明：f(x)在(0，+o∞)上是增函数.
2.函数y=ax与函数y=(1a)x(a>0且a≠1)的图像间的关系
在同一坐标系中画出y=2和y=（
两个函数的图像，如图所示：
y=24
观察发现，他们的图像关于轴对称
一般地，函数y=a”与函数y=
(a>0且a≠1)的图像关于轴对称
事实上，在函数=的图像上任取一点P(,),点P(心，)关于轴的对称点为P(-,),显然
点P在函数y
=a的图像上，由于点P是任意选取的，所以y=α2上任意一点关于轴的
对称点都在y=
的图像上，反之也成立
3.指数函数图像变化
在同一坐标系中画出指数函数y=2,y=3,y=4的图像，如下：
第3页（共6页）指数函数的图像和性质（知识讲解）
指数函数的概念
一般地，函数y=a”(a>0且a卡1，龙∈R)叫做指数函数.
对于定义要注意以下三点：
(1)定义域是R,因为指数的概念已经扩充到实数，所以在底数α>0的前提下，x可以是任意实
数
(2)规定底数a大于0且不等于1的理由：
如果a=0,当x>0时，a2恒等于0；当x≤0时a2无意义：
如果。<0，如函数划=（一4，当自变量x-时，在实数范围内函数值不存在
如果。=1，y=1=1,是一个常量，对它没有研究的必要
(3)形式上的严格性：在指数函数的定义表达式y=a中，α是常量且a前的系数必须是1，自变
量x的位置必须在指数的位置上，否则，不是指数函数，如y=2a”,y=+1等都不是指数函
数
若函数y=(a2-5a+5)·a”是指数函数，则有()·
A.a=1或a=4
B.a=1
C.a=4
D.a>0且a卡1
答案
C
解析
根据指数函数的定义：a2-5a+5=1且a>0,a≠1，解得a=4.
二、指数函数的图像和性质
1.指数函数的图像和性质
(1)y=a(a>1)的图像和性质：
第1页（共10页)
v=a"
图像：
0,1)
X
定义域：R
值域：(0，+∞)
定点：(0,1)
增减性：函数在定义域R上单调递增.
(2)y=a(0y=a
图像：
定义域：R
值域：(0，+∞)
定点：(0,1)
增减性：函数在定义域R上单调递减，
2
已知a=y5,-1,函数f回=r,若实数m,n满足m)>fm,则m,n的大小关系为
2
答案
m 解析
a=51∈0,1)，
2
.函数f(x)=a严为R上的减函数，
又fm)>fn),∴m第2页（共10页）
故答案为：m<%.
3
已知函数f代x)=a(a>0,且a≠1)，当x<0时，fx)>1,方程y=ax+
表示的直线是（
答案
解析
,f)=a且x<0时，f()>1,0>1.
a
又y=ae十
令=帽=，刘=附=月
a
a2
11
2/>三>1，故选C项图符合要求.
a
4
若函数f()=a2+b一1(a>0,a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则(）·
A.00B.a>1且6>0
C.01且6<0
答案
5
设4>0，函数问)-二+产是定义城为实数集R的偶玉数。
(1)求实数a的值；
(2)证明：f(x)在(0，+o∞)上是增函数.
答案
(1)a=1.
(2)证明见解析
解析
0问是上的偶函数，构=儿-，即学+号=
a 3
a
a
3
第3页（共10页）

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