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二次函数的图像和性质（知识讲解）
二次函数的概念
形如y=a2+a+c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域为R.
二、二次函数的表达形式
二次函数有常见的三种表达形式：
1.一般式
=aa2+a十c(a≠0)，对称轴x=2,
顶(。“。
2.顶点式
y=a(x-)2+(a≠0)，对称轴z=h,顶点(h,.
3.交点式
y=a(x-1)(x-2)(a≠0)，抛物线与x轴交于(1,0)，(x2,0).
三种表达形式各有优缺点，具体使用哪个要视题目的需求而定·
已知二次函数f(c),f0)=-5,f(-1)=4,f2)=5,求这个函数的解析式.
设二次函数的图象的顶点为(-2,4)，图象与x轴两个交点间的距离为8，求这个二次函数的解析
式
3
已知f(x)是二次函数，且f(+2)+f(x)=2x2+5c+5.求f代x)的解析式.
第1页（共4页）
三、二次函数的性质
1、函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是
b 4ac-62
b
2a14a
对称轴=一
·(特别
的，当b=0时，对称轴为轴，此时函数为偶函数)，与轴交于(0， )
2、二次项系数α决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物
线开口向下.a越大，则抛物线越苗条（开口越小）；α越小，则抛物线越肥胖（开口越大）
3、抛物线与轴交点个数：受判别式△=2一-4ac决定，△>0，则与轴有两个交点；△=0，则
与x轴有一个交点；△<0，与轴无交点.
特别地，当二次函数与轴交于不同两点A,耐，则AB1=√？一a
lal
:(结合一元二次方程韦达
定理可以推导)
4、单调性与最值：
(1)当a>0时，单调递增区间是
+o）
单调递减区间为
b
-00,-2
当e=时，
2a
咖=-品）=
4ac-62
6
(2)当<0时，单调递增区间是
单调递减区间为
2a+c0
当e=时，
2a
hm=北-会)=如c
4a
4
已知抛物线y=ax2+be+c(a卡0)的顶点在第一象限，与轴的两个交点分别位于原点两侧，则a
,,c的符号是().
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c>0
D.a<0,b>0,c<0
5
已知函数f(x)=x2一6x+8,∈L,a个，且f()的最小值是f(a),则实数a的取值范围是
6
函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-oo,4)上是增函数，则a的取值范围是()
A.[5,+o∞)
B.[3,+o∞)
C.(-∞，3]
D.(-∞，5
已知二次函数f(x)满足f(-2+x)=f(-2-)
()比较)，-)，-到的大小
(2)
第2页（共4页)二次函数的图像和性质（知识讲解）
二次函数的慨念
形如y=a2+a+c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域为R.
二、二次函数的表达形式
二次函数有常见的三种表达形式：
1.一般式
=aa2+a+c(a≠0)，对称轴x=2
顶(。6
2.顶点式
y=a(x-)2+(a≠0)，对称轴z=h,顶点(h,.
3交点式
y=a(x-1)(x-2)(a≠0)，抛物线与x轴交于(1,0)，(x2,0).
三种表达形式各有优缺点，具体使用哪个要视题目的需求而定，
已知二次函数f(c),f0)=-5,f(-1)=4,f2)=5,求这个函数的解析式.
答案
325.
解析
设函数的解析式为f(x)=ax2+be+c（a卡0)，
-5=c
a=4
由题意可得
4=a-b+c,解得
5=4a+2b+c,
c=-5,
3-6.
函数的解析式为()=？x2、
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设二次函数的图象的顶点为(-2,4)，图象与x轴两个交点间的距离为8，求这个二次函数的解析
式
答案
y=-
解析
.图象的顶点为(-2,4)，
.可设二次函数的解析式为y=a(+2)2+4,
设其图象与x轴的两个交点为(1,0)，(2,0)，
则，x2是方程a(+2)2+4=0的两根，
2
∴.a<0且=-2士
4
蛇1-2=
V-a=8
,解得a=-1
4
故所求解折式为y=-e+2P+4=子女2-2+8。
3
已知f()是二次函数，且f(x+2)+f(x)=2ax2+5c+5.求f(z)的解析式
答案
1
f）)=2+2
解析
设f()=a2+e+c(a卡0），
则f(x+2)=a(e+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+)x+4a+2b+c,
∴.fx+2)+f(x)=2ae2+(4a+2b)x+4a+2b+2c=2ax2+5e+5,
2a=2,
a=1,
4a+26=5,解得6=，
4a+2b+2c=5,
(c=0,
二次函数的解析式为()=2+2
三、二次函数的性质
1、函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是
64ac-62
2a4a
对称轴=
(特别
2d
的，当b=0时，对称轴为轴，此时函数为偶函数)，与轴交于(0，).
第2页（共8页）
2、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物
线开口向下.a越大，则抛物线越苗条（开口越小）；a越小，则抛物线越肥胖（开口越大）
3、抛物线与轴交点个数：受判别式△=2一-4c决定.△>0，则与轴有两个交点；△=0，则
与轴有一个交点；△<0，与轴无交点
特别地，当二次函数与x轴交于不同两点A,B时，则AB=
VB2-4ac
(结合一元二次方程韦达
定理可以推导)
4、单调性与最值：
(1)当“>0时，单调递增区间是
2a'+oo
单调递减区间为
1
-00,-2a
当=时，
m=北-8)=
4ac-62
4a
b
(2)当a<0时，单调递增区间是
2a
单调递减区间为
2g'+oo
=孔岛）=
4ac-82
4a
已知抛物线y=a2+be+c(a≠0)的顶点在第一象限，与轴的两个交点分别位于原点两侧，则a
,6,c的符号是()·
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c>0
D.a<0,b>0,c<0
答案
B
解析
如图所示：
y
开口向下，所以a<0;
6
2a
>0,6>0
.f(0)=c,∴.c>0
故选B
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