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指数与指数幂的运算（知识讲解）
课程要求：
1、理解次方根的意义，会进行简单的开方运算
2、理解有理数指数幂的含义，能够利用分式指数幂与根式的互化解决化简和求值问题
整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：an=a.a.a..a(a∈N*).
2、正整数指数幂的运算法则：
①am,a=am+n；
②(am)r=amn;
③am÷an=am-n(m>n,a卡0)
④(ab)n=a”bn;
()”-
3、在上述法则③中，限定m>m,如果取消这种限制，则正整数指数幂就推广到了整数指数幂，
下面研究a°(a卡0)的取值，根据法则③am÷am=am-m=a°，另一方面cm÷am=1,因此得到
a=1,据此可得。”=。(a≠0，nN"),此时上面的五条运算法则可以精简为三条
①am,an=&m+n;
②(ab)n=abn;
③(am)n=amn
下列运算中，正确的是()·
A.a2.a3=a0
B.(-a2)5=(-a5)2C.a-1°=0D.(-a2)5=-a0
二、根式
1.根式的概念
一般地，如果x”=a,那么x叫做a的m次方根，其中%>1且n∈N*.
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①当是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根用符
号表示
②当是偶数时，正数a的次方根有两个，记为士/a,负数在实数范围内没有偶次方根.
③0=0，其中%>1且n∈N*
表达式a叫做根式，其中n（n>1且n∈N)叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)(@”=a.
(2)①当m是奇数时，a=a;②当n是偶数时，a=la=
a,a≥0
-a,a<0
下列说法中正确的是()·
A.16的四次方根是2
B.正数的n次方根有两个
C.a的n次方根就是a
D.a=a（a≥0)
3
若<2，则√2-4x+4-3-x的值是
4
化简V(e+3)2-(e-3)3的结果是（）·
A.6
B.22
C.6或-2x
D.-2x或6或2c
5
设a、b是正数，且a=,b=9a,则a的值为()·
A司
B.9
C.9
D.3
三、分数指数幂
1.分数指数幂的定义
(1)我们规定正数的正分数指数幂的表达式是a”=am(a>0,m,∈N,且n>1)·
于是，在条件a>0,m,m∈N,且m>1的条件下，任何根式都可以写成分数指数幂的形式
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(2)正数的负分数指数隔的意义与负整数指数得的运算方法相仿，即。8-青（
a>0,m,n∈N,且n>1).
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义·
【补充说明】
(1)规定a>0的原因：整数指数幂概念扩充到有理数指数幂时，此时对于a≤0，a二有时有意
义，有时无意义，例如(-1)=一工=-1，但是(-1)在实数域内就没有意义了
（2)有时必须注意幂指数不能任性的随意约分，如(-4)=一42=[【(-4]？=2，而
(-4纠=√4在实数范围内没有意义.
6
将-2√2化为分数指数幂的形式为
7
化简a.bi(-3ab)÷(兮aibi)的结果是(）
A.6a
B.-a
C.-9a
D.9a
8
计算027r-(-3)”+2562-g1+2-1°=—
9
计算：
(1)
(2)
0m-()+（）-(a-°=—
10
a2
VaV
三化成分数指数幂为()·
A.a音
B.ai
C.a-
D.a
2.有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，8，同样有以下运算性
质：
①a.a°=a+e(a>0,T,&∈Q):
第3页（共5页）指数与指数幂的运算（知识讲解）
课程要求：
1、理解次方根的意义，会进行简单的开方运算
2、理解有理数指数幂的含义，能够利用分式指数幂与根式的互化解决化简和求值问题
整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：an=a.a.a..a(a∈N*).
2、正整数指数幂的运算法则：
①am,a=am+n；
②(am)r=amn;
③am÷an=am-n(m>n,a卡0)
④(ab)r=an;
()”-
3、在上述法则③中，限定m>m,如果取消这种限制，则正整数指数幂就推广到了整数指数幂，
下面研究a°(a卡0)的取值，根据法则③am÷am=am-m=a°，另一方面cm÷am=1,因此得到
a=1,据此可得。”=。(a≠0，nN"),此时上面的五条运算法则可以精简为三条
①am,an=&m+n;
②(ab)n=abn;
③(am)r=amn
下列运算中，正确的是()·
A.a2.a3=a0
B.(-a2y5=(-a52C.(a-1)°=0D.（-a2)5=-a0
答案
D
解析
A:a2.a3=a5,错误；B:（-a2)5=-(a5)2,错误；C:(a-1)°=1(a≠1)，错误.
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二、根式
1.根式的概念
一般地，如果x”=a,那么x叫做a的m次方根，其中n>1且n∈N*
①当是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根用符
号a表示
②当是偶数时，正数a的次方根有两个，记为±a,负数在实数范围内没有偶次方根
③0=0，其中n>1且n∈N*.
表达式a叫做根式，其中n（n>1且n∈N)叫做根指数，a叫做被开方数，
2.根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)(@)”=a.
(2)①当m是奇数时，a=a;②当n是偶数时，a=la=
4,a≥0
-a,a<0
下列说法中正确的是().
A.16的四次方根是2
B.正数的n次方根有两个
C.a的n次方根就是a
D.a=a(a≥0)
答案
解析
A不正确，16的四次方根是士2；
B不正确，要分为奇数或偶数两种情况讨论；奇次方1个，偶次方2个，
0不正确，a的m次方根可能有一个值，可能有两个值，而ā只表示一个确定的值；为±a
D正确，根据根式运算的法则，当n为奇数时，Va=a是正确的；
当n为偶数时，若a≥0，则有a=a·
3
若e<2,则√云2-4+4-3-x的值是
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