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幂函数的图像和性质（知识讲解）
幂函数的概念
一般地，y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数
【补充说明】
(1)幂函数的构成条件：①系数为1②底数是自变量x③指数为常数.满足这三个条件的方为幂
函数，否则不是，如y=22,y=(心+1)3，y=x都不是幂函数
(2)表把幂函数和指数函数混淆，注意观察表达式的形式，幂函数底数为自变量，指数为常
数，而指数函数恰好相反，
若函数f()=(m+2)xm是幂函数，则实数m=（）·
A.0
B.1
C.-1
D.2
答案
C
解析
函数f()=(m+2)xm是幂函数，
可得m+2=1,解得m=-1.
故选0.
2
若幂函数f代c)=(m2一3m+3)xm-m-2的图象不经过原点，求实数m的值.
答案
m=1或m=2.
解析
.函数是幂函数，m2-3m+3=1,m2-3m+2=0，
∵m=1或m=2.当m=1或m=2时，函数的图象都不经过原点.
“m=1或m=2.
第1页（共8页）
二、幂函数的图像和性质
1.幂函数的图像
在同一坐标系中做出幂函数划=公，y=x2,y=x3,y=x=VE,y=1=上的图像.
利用描点连线的常规方法，得到图形如下：
V=x
更一般的变化情形如下：
(1)α>1时的图像是竖直抛物线形（参看y=x2的图像）
(2)0<α<1时的图像是横卧抛物线（参看，=龙方=√的图像）
(3)a<0时的图像是双曲线（参看y=x1=1的图像）》
第2页（共8页）
【补充说明】同其他函数相比，幂函数的图像变化较为复杂，难以捉摸，只要指数稍微变化一点
儿，图像的形状和位置都会发生很大的变化（参看下图比较），因此要对幂函数的图像进行研
究，记住当指数α取不同值时，各函数图像的形状及他们之间的位置关系
=3x
=2x
幂函数
y01
指数函数
y=x0.1
3
下列命题正确的是(）·
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)：
②幂函数的图象不可能在第四象限：
③当n=0时，函数则=x的图象是一条直线；
④幂函数y=”,当n>0时是增函数：
⑤幂函数y=x”,当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小·
A.①和④
B.④和⑤
C.②和③
D.②和⑤
答案
解析
由幂函数的性质知①、④错误，②、⑤正确·
当n=0时，函数划=x”中，龙≠0，
故其图象是一条去掉点(0,1)的直线，故③错误
4
在同一平面直角坐标系内，函数y=x“(a≠0)和y=a+二的图象大致是()
第3页（共8页）幂函数的图像和性质（知识讲解）
幂函数的概念
一般地，y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数
【补充说明】
(1)幂函数的构成条件：①系数为1②底数是自变量x③指数为常数.满足这三个条件的方为幂
函数，否则不是，如y=22,y=(心+1)3，y=都不是幂函数
(2)表把幂函数和指数函数混淆，注意观察表达式的形式，幂函数底数为自变量，指数为常
数，而指数函数恰好相反，
若函数f()=(m+2)xm是幂函数，则实数m=（）·
A.0
B.1
C.-1
D.2
若幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm-m-2的图象不经过原点，求实数m的值
二、
幂函数的图像和性质
1.幂函数的图像
在同一坐标系中做出幂函数则=2，y=2,y=心，y=-V压，y=1=的图像。
利用描点连线的常规方法，得到图形如下：
第1页（共6页）
x3
V=x
2
x
更一般的变化情形如下：
(1)α>1时的图像是竖直抛物线形（参看y=x2的图像）
(2)0<α<1时的图像是横卧抛物线（参看y=x5=√的图像）
(3)a<0时的图像是双曲线（参看y=1=上的图像）
【补充说明】同其他函数相比，幂函数的图像变化较为复杂，难以捉摸，只要指数稍微变化一点
儿，图像的形状和位置都会发生很大的变化（参看下图比较），因此要对幂函数的图像进行研
究，记住当指数α取不同值时，各函数图像的形状及他们之间的位置关系
第2页（共6页）
=3x
2x
幂函数
y=X01
指数函数
VS
y=x0】
0
0
3
下列命题正确的是(）·
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n=0时，函数则=x的图象是一条直线：
④幂函数y=”,当n>0时是增函数；
⑤幂函数y=x”,当n<0时，在第一象限内函数值随值的增大而减小
A.①和④
B.④和⑤
C.②和③
D.②和⑤
4
在同一平面直角坐标系内，函数g=“(a≠0)和w=十上的图象大致是()
2.幂函数的性质
第3页（共6页）
y=x
y=a2
y=a3
y=c号
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+c∞)
(-o,0)U(0,+o∞)
值域
R
[0,+o∞)
R
[0,+oo)
(-∞，0)U(0,+∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在(-0∞，0上减
在(-00,0)和(0，+o0)
单调性
单调递增
单调递增
单调递增
在[0，+o∞)上增
上单调递减
(0,0),
(0,0),
定点
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
图象所在象限
一、三
-、二
一、三
一、三
图像形状
直线
抛物线
拐曲线
抛物线
双曲线
5
设n∈(-1，，1,2,3)，则使得f回)=为奇函数，且在0，+∞)上单调递减的n的个数为(），
A.1
B.2
C.3
D.4
6
已知f()=号，若0A.fa)B.f()C.f@)D.点)三、
幂函数的定义域
根据上面的表格知道y=x的定义域是0，+o∞)，y=x的定义域是R,那么对于分数指数幂函数
y=x号（，为互质整数)，它的定义域如何求解呢？一般我们将它等价改写为根式，然后根据根
式的意义来求定义域，如求解y=x的定义域，y=x=√，因此需要满足x3≥0，解得≥0
,故定义域为[0，十o∞)·
根据几个特殊幂函数的典型代表，归纳出幂函数y=x声（”，g为互质正整数)的定义域如下表：
p、的取值
定义域
p奇q奇
R
p奇g偶
R
p偶奇
[0,+o∞)
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