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对数运算（知识讲解）
对于表达式a°=N(a>0且a≠1)，已知a和求解N的过程是乘方运算，已知和N求解a的过程
是开方运算，那么已知和N如何求解呢，这就是本节要研究的内容.…
对数的概念与基本性质
1.对数的概念
(1)对数：一般地，如果a=N(a>0且a≠1)，那么加叫做以a为底N的对数，记作b=loga N
,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数：我们将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数10goN简记为
lgN
(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理对数=2.71828为底的对数，我们称之为自然对
数，为了简便，N的自然对数ogeN简记为山N.
【补充说明】
(1)对数由指数而来，即6=log N÷α°=N,两个表达式中底数相同，对数式中的真数值N就
是指数式中的幂的值N,而对数值b就是指数式中的幂指数奶，因此在指数式中，若已知a,N的
值，求幂指数的值的过程就是对数运算影=1og。N,
(2)既然对数式中的底数与指数式中的底数等价，因此它们所遵循的范围也一致：a>0且a≠1
,具体原因参看上一讲·
(3)根据指数函数的值域，可知对于a°=N(a>0且a≠1，b∈R),总有N>0,因此，对数
式中真数的位置必大于0，此原理常用来求解函数定义域或者解决一些涉及到不等式的范围问
题，是属于隐含条件，不要忘记：
解答下面问题：
(1)将下列对数式化为指数式：
①1og216=4:
②1og127=-3;
③log/3T=6(龙>0)
第1页（共8页）
④1og64=-6(花>0，x卡1)·
(2)将下列指数式化成对数式：
①54=625；
@32=6
-2
(2‘=16.
答案
(1)
①2=16；②(3)=27；⑧（周°=2；④e6=4.
(2)
@lb%625=4;@lbsg=-2; lbg916=-2.
解析
(1)
@2-16:@(3=27:@v间°=；@a6=4.
(2)
@g605=4;@sg=-2:@bg:16=-2.
2
对数式b=loga-)(5-a)中，实数a的取值范围是（）·
A.a>5或a<2
B.2C.2D.3答案
C
解析
a-2>0
由题意得
a-2≠1，
5-a>0
a>2
解得
%卡3
(a<5
.2故选0.
2.对数的基本性质
根据对数的定义，对数1og。N(a>0且a≠1)具有如下性质：
①负数和零没有对数，即N>0.
②1的对数是0，即1oga1=0(.a0=1).
第2页（共8页）对数运算（知识讲解）
对于表达式a°=N(a>0且a≠1)，已知a和求解N的过程是乘方运算，已知和N求解a的过程
是开方运算，那么已知和N如何求解呢，这就是本节要研究的内容.…
对数的概念与基本性质
1.对数的概念
(1)对数：一般地，如果a=N(a>0且a≠1)，那么加叫做以a为底N的对数，记作b=loga N
,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数：我们将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数10goN简记为
lgN
(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理对数=2.71828为底的对数，我们称之为自然对
数，为了简便，N的自然对数ogeN简记为山N.
【补充说明】
(1)对数由指数而来，即6=log N÷α°=N,两个表达式中底数相同，对数式中的真数值N就
是指数式中的幂的值N,而对数值b就是指数式中的幂指数奶，因此在指数式中，若已知a,N的
值，求幂指数的值的过程就是对数运算影=1og。N,
(2)既然对数式中的底数与指数式中的底数等价，因此它们所遵循的范围也一致：a>0且a≠1
,具体原因参看上一讲·
(3)根据指数函数的值域，可知对于a°=N(a>0且a≠1，b∈R),总有N>0,因此，对数
式中真数的位置必大于0，此原理常用来求解函数定义域或者解决一些涉及到不等式的范围问
题，是属于隐含条件，不要忘记：
解答下面问题：
(1)将下列对数式化为指数式：
①1og216=4:
②1og127=-3;
③log/3T=6(龙>0)
第1页（共5页）
④1og64=-6(花>0，x卡1)·
(2)将下列指数式化成对数式：
①54=625；
34=6
(2‘=16.
-2
2
对数式b=loga-)(5-a)中，实数a的取值范围是(）·
A.a>5或a<2
B.2C.2D.32.对数的基本性质
根据对数的定义，对数1og。N(a>0且a≠1)具有如下性质：
①负数和零没有对数，即N>0.
②1的对数是0，即1og。1=0（a°=1).
③底的对数是1，即l1og。4=1(a2=a）.
④对数恒等式：如果把a°=N中的b写成1og。N,那么cogN=N,同理log。=b.
【补充说明】上述结论都来源于指数，因此弄清楚对数式与指数式的等价互换是掌握对数意义及
其运算的关键
3
已知4=2，lg花=a,则x=
设f0og2x)=2（x>0),则f3)的值是（)·
A.128
B.256
C.512
D.8
5
若1og2log31og4x刃=0，则=·
6
若花=10g43,则(2-2)2=(）
9
A.4
5
c.10
D
43
第2页（共5页）

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