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一元二次方程的区间根问题（知识讲解）
课程要求：
1、理解并掌握二次函数与一元二次方程的关系，会根据判别式来判断二次函数与轴的交点个
数
2、综合利用二次函数的相关性质以及图像解决二次函数的区间根问题·
研究一元二次方程的区间根一般情况下需要从以下三个方面考虑：
1、对应一元二次方程的判别式：
2、二次函数区间端点值的符号；
3、二次函数对应的图像一抛物线的对称轴与区间端点的位置关系
设1,2是实系数一元二次方程ax2+bc+c=0(a>0)的两实根，则1,2的分布范围与一元二次
方程系数之间的关系如下表：
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根的分
1<2k<1<花2
1布
图
像
k ox
X2
X>
等价条
f(A)>0
f)>0
-岳件
品>6
f)<0
△>0
△>0
根
的
分
1,花2∈(1,2)
1<1<<2在(1,2)内有且只有一根
布
图
k,0
像
等
f)>0
f)>0
价
f2)>0
f2)<0
fk)f2)<0
条
<一品f( )>0
∈(，)
△>0
△>0
或△=咀
件
【补充说明】
对于一元二次方程的区间根问题，不必硬性的去记忆上面的图表，那样容易混淆，其实我们可以
按照这样的思路流程去解决问题，首先，结合题目的要求画出一元二次方程所对应的二次函数的
图像及零点位置，其次，根据题目中给出的根的分布条件来分析，对图形做什么样的限制会使得
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零点呈现题目那样的分布，接下来，将图形的限制落实为代数不等式（组），然后解不等式组即
可，下面举例说明：
【示例】已知关于的一元二次方程x2+2m+2m+1=0有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另
一根在区间(1,2)内，求m的取值范围
【分析】由题意知，抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和1,2)内，
可以画出示意图如下：
y
接下来就需要考虑做什么样的限制条件能够使得两根出现如图的分布呢，不难得出，只要满足以
下条件即可：
(f(-1)=2>0
f(0)=2m+1<0
f(1)=4m+2<0
解得-f(2)=6m+5>0
若二次函数y=x2+m+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是()
A.(-∞，-2)U(6,+∞)
B.（-2,6)
C.[-2,6
D.【-2,6)
2
已知关于的一元二次方程2x2-(a一4)一3a2+7a+30=0的两根是1、2，且满足
-2<1<1<2,求实数a的取值范围.
已知f(e)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.
(1)m为何值时，函数的图像与轴有两个零点；
(2)如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m的取值范围，
第3页（共4页）一元二次方程的区间根问题（知识讲解）
课程要求：
1、理解并掌握二次函数与一元二次方程的关系，会根据判别式来判断二次函数与轴的交点个
数
2、综合利用二次函数的相关性质以及图像解决二次函数的区间根问题·
研究一元二次方程的区间根一般情况下需要从以下三个方面考虑：
1、对应一元二次方程的判别式：
2、二次函数区间端点值的符号；
3、二次函数对应的图像一抛物线的对称轴与区间端点的位置关系
设1,2是实系数一元二次方程ax2+bc+c=0(a>0)的两实根，则1,2的分布范围与一元二次
方程系数之间的关系如下表：
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根的分
1<2k<1<花2
1布
图
像
k ox
X2
X>
等价条
f(A)>0
f)>0
-岳件
品>6
f)<0
△>0
△>0
根
的
分
1,花2∈(1,2)
1<1<<2在(1,2)内有且只有一根
布
图
k,0
像
等
f)>0
f)>0
价
f2)>0
f2)<0
fk)f2)<0
条
<一品f( )>0
∈(，)
△>0
△>0
或△=咀
件
【补充说明】
对于一元二次方程的区间根问题，不必硬性的去记忆上面的图表，那样容易混淆，其实我们可以
按照这样的思路流程去解决问题，首先，结合题目的要求画出一元二次方程所对应的二次函数的
图像及零点位置，其次，根据题目中给出的根的分布条件来分析，对图形做什么样的限制会使得
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零点呈现题目那样的分布，接下来，将图形的限制落实为代数不等式（组），然后解不等式组即
可，下面举例说明：
【示例】已知关于的一元二次方程x2+2m+2m+1=0有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另
一根在区间(1,2)内，求m的取值范围
【分析】由题意知，抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和1,2)内，
可以画出示意图如下：
y
接下来就需要考虑做什么样的限制条件能够使得两根出现如图的分布呢，不难得出，只要满足以
下条件即可：
(f(-1)=2>0
f(0)=2m+1<0
f(1)=4m+2<0
解得-营f(2)=6m+5>0
若二次函数y=x2+m+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是()·
A.(-∞，-2)U(6,+∞)
B.(-2,6)
C.【-2,6]
D.【-2,6)
答案
解析
由题意知△=m2-4(m+3)=(m-6)(m+2)>0.解得m<-2或m>6
2
已知关于的一元二次方程2x2-(a一4)z-3a2+7a+30=0的两根是1、2，且满足
-2<的<1<2，求实数a的取值范围.
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