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函数的零点（知识讲解）
函数零点的概念
对于函数y=f(),我们把使f()=0的实数x的值叫做函数则=f()的零点
由函数零点的概念可知，函数y=f()的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数则=f(x)与
轴的交点的横坐标
由函数零点的概念可知，函数y=f()的零点就是方程f()=0的实数根，也就是函数y=f()的
图像与轴交点的横坐标.因此有：
方程f(x)=0有实数根台函数y=f()的图像与x轴有交点台函数y=f(x)有零点·
【补充说明】
(1)函数的零点是数并非点，可以看成方程的实数根，也可以看成函数与轴交点的横坐标·
(2)并不是所有函数都有零点的，比如指数函数则=2，y=2+1·
(3)函数F()=()一g(x)的零点就是方程f(c)=g()的实数根，也是函数划=f(c)与函数
y=9(x)的图像交点的横坐标，因此，研究函数零点等价于研究方程的实数根，也可以等价于研
究两个函数的交点，做题时要灵活转化
(4)二次函数的零点其实就是对应一元二次方程的实根，因此求解零点或者讨论零点个数就等
价于研究一元二次方程根的问题，后面会详细讲到.
求下列函数的零点：
(1)f()=x2-5+4:
(2)f(x)=-x2+4x:
(3)fx)=x3-82-9t.
答案
(1)1或4.
(2)0或4.
(3)0或-1或9.
解析
(1)·.x2-5+4=0,解得x=1或x=4.
第1页（共11页)
,函数的零点为1或4.
(2)-x2+4x=0,解得x=0或x=4.
函数的零点为0或4.
(3)·.z3-8x2-9x=0.
,x(x2-8-9)=x(x-9)(十1)=0，解得x=0或x=-1或x=9,
,:函数的零点为0或-1或9
2
定义在R上的奇函数(x)(）·
A.未必有零点
B.零点的个数为偶数C.至少有一个零点
D.以上都不对
答案
C
解析
函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f0)=0,f()至少有一个零点，且(x)的零点的个数为奇数.
3
判断函数f(x)=2x-3在区间[-1,1内是否有零点·
答案
没有零点·
解析
方法一：当花∈【-1,1时，(x)=2x-3≤-1，
函数划=f(x)在[-1,1上的图象与x轴没有交点，
即函数f()=2x-3在区间-1,1内没有零点·
方法三：由2-3=0得=±号-1，，
故函数f(x)=2x-3在区间-1,1内没有零点·
若函数f()=x2-a一的两个零点分别是2和3，则函数g()=bx2一ac一1的零点是
答案
和-日
第2页（共11页)函数的零点（知识讲解）
函数零点的概念
对于函数y=f(),我们把使f()=0的实数x的值叫做函数则=f()的零点
由函数零点的概念可知，函数y=f(x)的零点就是方程f()=0的实数根，也就是函数y=f(x)与
轴的交点的横坐标
由函数零点的概念可知，函数y=f()的零点就是方程f()=0的实数根，也就是函数y=f()的
图像与轴交点的横坐标，因此有：
方程f(x)=0有实数根台函数y=f()的图像与x轴有交点台函数y=f(x)有零点·
【补充说明】
(1)函数的零点是数并非点，可以看成方程的实数根，也可以看成函数与轴交点的横坐标，
(2)并不是所有函数都有零点的，比如指数函数则=2，y=2+1·
(3)函数F()=()一g(x)的零点就是方程f(c)=g()的实数根，也是函数划=f(c)与函数
y=9(x)的图像交点的横坐标，因此，研究函数零点等价于研究方程的实数根，也可以等价于研
究两个函数的交点，做题时要灵活转化
(4)二次函数的零点其实就是对应一元二次方程的实根，因此求解零点或者讨论零点个数就等
价于研究一元二次方程根的问题，后面会详细讲到.
求下列函数的零点：
(1)f(x)=x2-5+4:
(2)fx)=-x2+4元；
(3)fx)=x3-8a2-9x.
2
定义在R上的奇函数f(x)()·
A.未必有零点
B.零点的个数为偶数C.至少有一个零点
D.以上都不对
3
判断函数f(x)=2x-3在区间[-1,1内是否有零点.
第1页（共6页）
若函数f(x)=x2一ax-的两个零点分别是2和3，则函数g()=x2-ax一1的零点是
二、
函数零点的判定（存在性定理
一般地，如果函数y=f(x)在区间a,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(6)<0
那么，函数y=f()在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,),使得f(e)=0,这个c也就是方程
f()=0的根
【补充说明】
(1)一个函数y=f(x)在区间(@，)内有零点必须同时满足图像连续且端点处函数值异号两个条
件，如函数划=f(x)=x2-1在区间[2,3)上满足条件一但是不满足条件二因此不存在零点，而函
数划=9似)=尽管满足g()·9(-)<0,但是因为其函数图像不连续，因此也不存在零点
(2)对此定理不要存在误解，在函数图像连续的大前提下，定理只说明了函数定义域端点处函
数值异号则存在零点，但不表示定义域端点处函数值不异号就没有零点，比如函数
y=f(x)=x2-1在闭区间(-2,3)上尽管不满足端点处函数值异号，但是它却有两个零点·
（3)零点存在性定理的反面不一定成立，即若函数g=f(x)在区间[a,)上的图像是连续不断的
条曲线，且函数函数y=f()在区间(a,)内有零点，但不一定满足f(a).f(b)<0,读者可以自行
举例推翻
(4)如果方程f(x)=0有两个相等的实数根x,那么x叫做函数则=f(x)的二重零点，比如对于函
数f(x)=x2-6+9,3就是二重零点.
(5)如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号，但如果
个函数有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号并不改变
5
函数f代x)=2:+3x的零点所在的一个区间是()·
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
6
对于函数f(x),若已知f(a)<0,f6)>0,aA.函数f(x)在(a,b)上必有且只有一个零点
B.函数f(x)在(a,b)上必有奇数个零点
C.函数f()在(a,b)上必有偶数个零点
第2页（共6页）

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