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分段函数（知识讲解）
课程要求：
1、理解分段函数的概念，会描绘分段函数的图像，
2、会求解分段函数的定义域和值域
3、能够解决涉及分段函数的综合问题.
一、分段函数的定义
画出函数y=x的图像
解：由绝对值的概念，我们有：
①当x≥0时，y=花；②当x<0时，y=-8.
因此有y=
了x,花≥0，图像如下：
(-g,x<0'
可以发现，上面这个函数有别于之前我们研究的函数，主要区别在于对应关系（解析式），从前
我们研究的函数，比如函数y=2x+1,不管x是何范围，对的处理方式都是先乘以2然后再加1
,即这种对应关系对定义域内的所有元素一视同仁，而上面的函数其对应关系有些挑剔，即对不
同范围内的自变量采取不同的对待方式，由此引出一个新的函数概念：
若函数的定义域分为若干区间，且对于不同的区间内的自变量有着不同的对应关系，这样的函数
叫做分段函数
【补充说明】
(1)不要把分段函数误解为多个函数，它其实还是一个函数，只不过对应关系是几个次级对应
关系的组合·在研究分段函数时，要服从先局部后整体的原侧，首先要确定自变量的数值属于哪
个区间，从而选择相应的对应关系
第1页（共6页）
(2)画分段函数的图像时，依次做出各个分区间内的函数图像，然后组合在一起就是整个分段
函数的图像
(3)分段函数的定义域是各个子区间的并集，根据函数（映射）的定义，各个子区间之间的交
集必为空集
(4)分段函数的值域是各段函数在相应区间上值域的并集.这给我们提供一种求解分段函数值
域的方法，即先求出各个子函数的值域，然后将值域取并集即可，
二、
常见的几种分段函数
1.取整函数（高斯函数）
f()=[（[x表示不超过的最大整数，如[-1.2=-2，[1=1,2.5=2)，其图像如下：
●
2.符号函数
f()=（-1)
1,=2m-1n
其函数图像为一系列孤立点（此处略去，读者自
行)
3.绝对值函数
第2页（共6页）
如f(x)=x+2引=
什计22。·其通数图像为折线（此处路去，读者自行）
4.自定义函数
()-1,2≤-1
如f()=
2-8-2,-1<8≤2，其图像如下：
n(e-1),x>2
x+1
y=In(x-1)
y=x2-x-2
三、分段函数的单调性
研究分段函数的单调性服从的原则还是先局部后整体，最有效的方法是做出图像然后由图像观
察，若无法做出分段函数的图像，则需要利用代数手段研究各个子区间的单调性，然后再考察区
间端点值处的大小关系即可，如，若函数回={分阁，e日
∫i(),∈a,),
若要保证f(x)在定义域[a,c可
内单调递增，则需要满足下面三个条件：①方1(x)在区间a,b)上单调递增；②f()在区间6，c上
单调递增；③f1()≤()·反之亦然
1,e>0
函数f()=
0,x=0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是
、-1,e<0
第3页（共6页）分段函数（知识讲解）
课程要求：
1、理解分段函数的概念，会描绘分段函数的图像，
2、会求解分段函数的定义域和值域
3、能够解决涉及分段函数的综合问题.
一、分段函数的定义
画出函数y=x的图像
解：由绝对值的概念，我们有：
①当x≥0时，y=花；②当x<0时，y=-8.
因此有y=
了x,花≥0，图像如下：
(-g,x<0'
可以发现，上面这个函数有别于之前我们研究的函数，主要区别在于对应关系（解析式），从前
我们研究的函数，比如函数y=2x+1,不管x是何范围，对的处理方式都是先乘以2然后再加1
,即这种对应关系对定义域内的所有元素一视同仁，而上面的函数其对应关系有些挑剔，即对不
同范围内的自变量采取不同的对待方式，由此引出一个新的函数概念：
若函数的定义域分为若干区间，且对于不同的区间内的自变量有着不同的对应关系，这样的函数
叫做分段函数
【补充说明】
(1)不要把分段函数误解为多个函数，它其实还是一个函数，只不过对应关系是几个次级对应
关系的组合·在研究分段函数时，要服从先局部后整体的原侧，首先要确定自变量的数值属于哪
个区间，从而选择相应的对应关系
第1页（共13页)
(2)画分段函数的图像时，依次做出各个分区间内的函数图像，然后组合在一起就是整个分段
函数的图像
(3)分段函数的定义域是各个子区间的并集，根据函数（映射）的定义，各个子区间之间的交
集必为空集
(4)分段函数的值域是各段函数在相应区间上值域的并集.这给我们提供一种求解分段函数值
域的方法，即先求出各个子函数的值域，然后将值域取并集即可，
二、
常见的几种分段函数
1.取整函数（高斯函数）
f()=[（[x表示不超过的最大整数，如[-1.2=-2，[1=1,2.5=2)，其图像如下：
●
2.符号函数
f()=（-1)
1,=2m-1(n3
其函数图像为一系列孤立点（此处略去，读者自
行)·
3.绝对值函数
第2页（共13页)
如f(x)=x+2引=
什计22。·其通数图像为折线（此处路去，读者自行）
4.自定义函数
()-1,8≤-1
如f()=
2-8-2,-1<8≤2，其图像如下：
n(e-1),x>2
x+1
y=In(x-1)
y=x2-x-2
三、分段函数的单调性
研究分段函数的单调性服从的原则还是先局部后整体，最有效的方法是做出图像然后由图像观
察，若无法做出分段函数的图像，则需要利用代数手段研究各个子区间的单调性，然后再考察区
间端点值处的大小关系即可，如，若函数回={分阁，e日
∫i(),∈a,),
若要保证f(x)在定义域[a,c可
内单调递增，则需要满足下面三个条件：①方1(x)在区间a,b)上单调递增；②f()在区间6，c上
单调递增；③f1()≤()·反之亦然
1,e>0
函数f)=
0,x=0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是
、-1,e<0
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