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函数模型的应用举例（知识讲解）
课程要求：
1、以所学基本初等函数为基础构造一些函数的基本模型，了解指数函数、幂函数、对数函数之
间的增长差异以及”指数增长"的概念和应用
2、通过对函数模型应用实例的学习，会对收集到的相关数据所作出的散点图进行拟合，并选取
建立适当的函数模型
3、通过对函数模型应用实例的学习，掌握数学建模的初级思想
4、通过本节内容的学习，体验数学建模的作用和意义，进一步激发自己学习数学的热情，培养
自己学数学、用数学的积极性和分析问题、解决问题的能力.
一、三类函数增长差异的比较
我们知道，指数函数y=a”(a>1),幂函数y=x”(n>0)与对数函数y=loga龙(a>1)在区间
(0,+∞)上都是增函数，但是这三类函数的增长是有差异的，下面我们以函数y=2“,y=x2，
y=1og2c为例比较其不同.
在同一内坐标系内，作出三个函数的图像，如下图：
第1页（共9页）
1=2x
x
y=log2x
x
观察结论：
(1)指数函数y=2”和幂函数y=的增长比较明显，都是越来越快（图形越来越陡），而对数
函数y=1og2x的图像却越来越平缓，因此y=2和y=x的增长速度都远大于y=1og2的增长速
度
(2)指数函数则=2”和幂函数y=x2,观察第一象限内两个函数的图像有两个交点，这表明2和
在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2>x2,有时2<2.那么是不是它们俩的
实力真的是不相上下，彼此忽高忽低呢？
目光长远一些，就发现事实不是这样.
事实上，当自变量越来越大时，作图可以看出y=2”的图像陡峭得十分严重，就像与x轴垂直一
样，2的值飞速增长，此时2同2比起来，显得微不足道了.
举例说明，对于指数函数y=2“,自变量由13增加到14，函数值增加了8192，而对于幂函数
y=x2,当自变量由13增加到14，函数值仅仅增加了27
第2页（共9页）
到此，三类函数已经分出高下，大家请肃静，由我对这次比赛进行简要总结：
在区间(0，+o∞)上，尽管函数y=a(a>1),y=x”(n>0),y=1og。x(a>1)都是增函数，但它
们的增长速度不同，而且不在同一个档次"上.随着的增大，y=a(α>1)的增长速度越来越
快，会超过并远远大于y=x”(>0)的增长速度，而相比于前两者，y=1og。x(a>1)的增长速度
则会越来越慢，因此，总会存在个0，当x>0时，就有logx下面宣布比赛结果：
就增长速度来说，指数函数y=a2(a>1)荣获冠军，幂函数y=x”(>0)屈居亚军，对数函数
y=logaz(a>1)倒数第一.
用一句话来概括三位选手，就是：对数平缓，幂级上升，指数爆炸
【指数爆炸的故事】
在古代印度有一个国王，他拥有至高无上的权力和难以计数的财富，但是，他逐渐对生活产生厌
倦，渴望一种新鲜的刺激.有一天，来了一位叫垂相达依尔的老人，他带着自己发明的国际象棋
来朝见国王.国王见了这新奇的玩意非常喜欢，就与老人对弈起来，谁知，他们一连下了三天三
夜，直到第四天早上，国王满意地对老人说：“你给了我无穷的乐趣，为了奖赏你，我现在决定
你可以从我这儿得到你想要的任何东西."老人却慢条斯理地回答道：“万能的王啊，您虽然是世
界上最富有的人，但恐怕也满足不了我的要求，”
国王不高兴了，他皱起了眉头，严肃地说道：“说说你的要求吧，哪怕你要我的半个王国."于
是，老人说出了自己的要求：“请国王下令在棋盘的第一格上放一粒小麦，第二格上放两粒小麦，
第三格上放四粒，第四格上放八粒，就这样依次每1格增加1倍的小麦数量，一直到第六十四格为
止。”
“可怜的人啊，你的要求就只有这么一点吗？"国王不禁笑了起来.他立即命人取来一袋小麦，按
照老人的要求数给他.但是，一袋小麦很快就用完了.国王觉得很奇怪，立刻命人再去取一袋
来.接着，是第三袋、第四袋…小麦堆积如山，但是离第六十四格还远得很.最后，国王勃然
大怒了，原来国库里的小麦已经搬空了，却还只是放到了棋盘上的第五十格
其实，老人的话没有错，国王的确满足不了他的要求.根据计算，我们会得到：
第一格：2”=1；第二格：22=2；第三格：22=4；第四格：23=8；第五格：24=16；第六
格：25=32；第七格：25=64；第八格：27=128；第九格：28=256；第十格：2°=512；第十
一格：210=1024；第十二格：211=2048第二十四格：228=8388608...第三十一—格：
230=1073741824.…第六十四格：2=9223372036854775808
第3页（共9页）函数模型的应用举例（知识讲解）
课程要求：
1、以所学基本初等函数为基础构造一些函数的基本模型，了解指数函数、幂函数、对数函数之
间的增长差异以及”指数增长"的概念和应用
2、通过对函数模型应用实例的学习，会对收集到的相关数据所作出的散点图进行拟合，并选取
建立适当的函数模型
3、通过对函数模型应用实例的学习，掌握数学建模的初级思想
4、通过本节内容的学习，体验数学建模的作用和意义，进一步激发自己学习数学的热情，培养
自己学数学、用数学的积极性和分析问题、解决问题的能力.
一、三类函数增长差异的比较
我们知道，指数函数y=a”(a>1),幂函数y=x”(n>0)与对数函数y=loga龙(a>1)在区间
(0,+∞)上都是增函数，但是这三类函数的增长是有差异的，下面我们以函数y=2“,y=x2，
y=1og2c为例比较其不同.
在同一内坐标系内，作出三个函数的图像，如下图：
第1页（共7页）
1=2x
x
y=log2x
x
观察结论：
(1)指数函数y=2”和幂函数y=的增长比较明显，都是越来越快（图形越来越陡），而对数
函数y=1og2x的图像却越来越平缓，因此y=2和y=x的增长速度都远大于y=1og2的增长速
度
(2)指数函数则=2”和幂函数y=x2,观察第一象限内两个函数的图像有两个交点，这表明2和
在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2>x2,有时2<2.那么是不是它们俩的
实力真的是不相上下，彼此忽高忽低呢？
目光长远一些，就发现事实不是这样.
事实上，当自变量越来越大时，作图可以看出y=2”的图像陡峭得十分严重，就像与x轴垂直一
样，2的值飞速增长，此时2同2比起来，显得微不足道了.
举例说明，对于指数函数y=2“,自变量由13增加到14，函数值增加了8192，而对于幂函数
y=x2,当自变量由13增加到14，函数值仅仅增加了27
第2页（共7页）
到此，三类函数已经分出高下，大家请肃静，由我对这次比赛进行简要总结：
在区间(0，+o∞)上，尽管函数y=a(a>1),y=x”(n>0),y=1og。x(a>1)都是增函数，但它
们的增长速度不同，而且不在同一个档次"上.随着的增大，y=a(α>1)的增长速度越来越
快，会超过并远远大于y=x”(>0)的增长速度，而相比于前两者，y=1og。x(a>1)的增长速度
则会越来越慢，因此，总会存在个0，当x>0时，就有logx下面宣布比赛结果：
就增长速度来说，指数函数y=a2(a>1)荣获冠军，幂函数y=x”(>0)屈居亚军，对数函数
y=logaz(a>1)倒数第一.
用一句话来概括三位选手，就是：对数平缓，幂级上升，指数爆炸
【指数爆炸的故事】
在古代印度有一个国王，他拥有至高无上的权力和难以计数的财富，但是，他逐渐对生活产生厌
倦，渴望一种新鲜的刺激.有一天，来了一位叫垂相达依尔的老人，他带着自己发明的国际象棋
来朝见国王.国王见了这新奇的玩意非常喜欢，就与老人对弈起来，谁知，他们一连下了三天三
夜，直到第四天早上，国王满意地对老人说：“你给了我无穷的乐趣，为了奖赏你，我现在决定
你可以从我这儿得到你想要的任何东西."老人却慢条斯理地回答道：“万能的王啊，您虽然是世
界上最富有的人，但恐怕也满足不了我的要求，”
国王不高兴了，他皱起了眉头，严肃地说道：“说说你的要求吧，哪怕你要我的半个王国."于
是，老人说出了自己的要求：“请国王下令在棋盘的第一格上放一粒小麦，第二格上放两粒小麦，
第三格上放四粒，第四格上放八粒，就这样依次每1格增加1倍的小麦数量，一直到第六十四格为
止。”
“可怜的人啊，你的要求就只有这么一点吗？"国王不禁笑了起来.他立即命人取来一袋小麦，按
照老人的要求数给他.但是，一袋小麦很快就用完了.国王觉得很奇怪，立刻命人再去取一袋
来.接着，是第三袋、第四袋…小麦堆积如山，但是离第六十四格还远得很.最后，国王勃然
大怒了，原来国库里的小麦已经搬空了，却还只是放到了棋盘上的第五十格
其实，老人的话没有错，国王的确满足不了他的要求.根据计算，我们会得到：
第一格：2”=1；第二格：22=2；第三格：22=4；第四格：23=8；第五格：24=16；第六
格：25=32；第七格：25=64；第八格：27=128；第九格：28=256；第十格：2°=512；第十
一格：210=1024；第十二格：21=2048第二十四格：28=8388608..…第三十一格：
230=1073741824.…第六十四格：2=9223372036854775808
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