资源简介

复合函数（知识讲解）
课程要求：
1、理解复合函数的构成原理，能够将复合函数拆解称为若干基本初等函数，
2、掌握复合函数单调性的判断方法
3、求解复合类函数综合问题
复合函数的定义
如果函数y=f(u)的定义域为A,函数u=g(x)的定义域为D,值域为C,若满足C二A,则称函
数划=f(g()》为f与g在区间D上的复合函数，其中u叫做中间变量，u=g(x)叫做内函数，
y=f(4)叫做外函数
例如y=血(x2+1)就是复合函数，其中u=x2+1叫做内函数，y=f(u)=血u叫做外函数·
【补充说明】
一个复合函数是可以拆解称为若干个基本初等函数的，而且有的时候不仅仅是双层复合，比如函
数y=√e-I,它就是三层复合的函数，内函数为一次函数u=龙一1，中间层函数为幂函数
u=√厄，外层函数为自然对数函数y=血“.能够把一个复合函数准确拆解成若干基本初等函数是
一个很重要的技能，它是我们研究复合函数性质的基础·
二、复合函数的单调性
1.判断复合函数的单调性的步骤
(1)确定定义域
(2)将复合函数分解为若干基本初等函数（以两个为例）·
(3)分别确定各个基本初等函数的单调性
(4)若两个函数增减性一致（一定要针对于某个明确区间），则复合函数单调递增；否则复合
函数单调递减·：
对于步骤(4)它并不是没有根据的，下面我们通过函数单调性的严格定义给出证明，
第1页（共6页）
已知的定义域为B的外函数y=f(u)是单调递增的，定义域为A,值域为C(C二B)的内函数
u=g(x)是单调递增的，
证明：函数y=f(g(c)》在定义域A上是单调递增的，
证明过程如下：
任取1,2∈A且1<2，则由内函数的单调性可知，h=g(1)y=f()在其定义域B内单调递增，故在区间B的子区间C上也必定单调递增，此时由4，∈C且
C二B可得山，2∈B,因为1<2，则由外函数y=f(u)的单调性可知，f()f(g()》对于另外三种情况这里不给出证明过程，读者有兴趣可自行推导.
探究函数y=25-2概的单调性：
按照上面的步骤，函数定义域为R,接下来将其分解为两个基本初等函数，外函数为指数函数
y=2“,内函数为一次函数u=5-2,外函数为增函数而内函数为减函数，因此可得，函数
y=25-24是单调递减的
又或者判断函数y=√x2-1在(-2，-1)上的单调性：
此时定义域已经给出无需自求，接下来将其分解为两个基本初等函数，外函数为幂函数y=√，
内函数为二次函数u=x2一1，由二次函数的性质可知，“=x2-1在(-2，-1)上单调递减，由幂
函数的性质可知，y=√在(0,3)（想一想这个开区间是哪里来的？为什么要强调这个区间而不是
别的区间？)上是单调递增的，因此结合复合函数的单调性结论可知，函数y=√云一1在
(-2,-1)上是单调递减的
函数f)=1og(2c+1)的单调增区间是
答案
解析
函数的单调增区间是(2z+1)>0→2∈(+∞）
故答案为(+）·
2
若函数划=c)(x∈R)的图象如图所示，则函数g)=fog:x)的单调减区间是（）·
第2页（共6页）复合函数（知识讲解）
课程要求：
1、理解复合函数的构成原理，能够将复合函数拆解称为若干基本初等函数，
2、掌握复合函数单调性的判断方法
3、求解复合类函数综合问题
复合函数的定义
如果函数y=f(u)的定义域为A,函数u=g(x)的定义域为D,值域为C,若满足C二A,则称函
数划=f(g()》为f与g在区间D上的复合函数，其中u叫做中间变量，u=g(x)叫做内函数，
y=f(4)叫做外函数
例如y=血(x2+1)就是复合函数，其中u=x2+1叫做内函数，y=f(u)=血u叫做外函数·
【补充说明】
一个复合函数是可以拆解称为若干个基本初等函数的，而且有的时候不仅仅是双层复合，比如函
数y=√e-I,它就是三层复合的函数，内函数为一次函数u=龙一1，中间层函数为幂函数
u=√厄，外层函数为自然对数函数y=血“.能够把一个复合函数准确拆解成若干基本初等函数是
一个很重要的技能，它是我们研究复合函数性质的基础·
二、复合函数的单调性
1.判断复合函数的单调性的步骤
(1)确定定义域
(2)将复合函数分解为若干基本初等函数（以两个为例）·
(3)分别确定各个基本初等函数的单调性
(4)若两个函数增减性一致（一定要针对于某个明确区间），则复合函数单调递增；否则复合
函数单调递减·：
对于步骤(4)它并不是没有根据的，下面我们通过函数单调性的严格定义给出证明，
第1页（共4页）
已知的定义域为B的外函数y=f(u)是单调递增的，定义域为A,值域为C(C二B)的内函数
u=g(x)是单调递增的，
证明：函数y=f(g(c)在定义域A上是单调递增的
证明过程如下：
任取1,2∈A且1<2，则由内函数的单调性可知，h=g(1)y=f()在其定义域B内单调递增，故在区间B的子区间C上也必定单调递增，此时由4，∈C且
C二B可得山，∈B,因为u1<2,则由外函数y=f(u)的单调性可知，f()f(g()》对于另外三种情况这里不给出证明过程，读者有兴趣可自行推导，
探究函数y=25-2的单调性：
按照上面的步骤，函数定义域为R,接下来将其分解为两个基本初等函数，外函数为指数函数
y=2“,，内函数为一次函数u=5一2，外函数为增函数而内函数为减函数，因此可得，函数
y=25-2是单调递减的
又或者判断函数y=√x2-1在(-2，-1)上的单调性：
此时定义域已经给出无需自求，接下来将其分解为两个基本初等函数，外函数为幂函数y=√，
内函数为二次函数u=x2一1，由二次函数的性质可知，“=x2-1在(-2，-1)上单调递减，由幂
函数的性质可知，y=√在(0,3)（想一想这个开区间是哪里来的？为什么要强调这个区间而不是
别的区间？)上是单调递增的，因此结合复合函数的单调性结论可知，函数y=√云一1在
(-2,-1)上是单调递减的
函数f)=1og(2c+1)的单调增区间是
2
若函数划=f(x)(龙∈R)的图象如图所示，则函数g(x)=fog:x)的单调减区间是(）。
A.[1,√②
8
C.(0,1]和v2,十o∞)
D.(-∞，1]和[v√2，+o∞)
第2页（共4页)

展开更多......

收起↑