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三角函数的定义（知识讲解）
课程要求：
1.理解任意角的三角函数的概念：
2.利用三角函数的定义判断各个象限角的三角函数值符号并从中提炼三角函数值的分布规律；
3.掌握单位圆的概念，能利用单位圆定义任意角的三角函数：
4.利用诱导公式一实现三角函数值的转化.
任意角的三角函数
1.锐角的三角函数
如图：
P(a,b)
M
设锐角α的顶点与原点0重合，始边与轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终
边上任取一点P(a,),它与原点的距离r=√a2+2>0.过P作轴的垂线，垂足M,则线段
OM的长度为a,线段MP的长度为b
根据初中学过的三角函数定义，我们有：
OM-
由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改
变，因此我们可以将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，如下图：
第1页（共9页）
P(a,b
4(1,0)
M
这样就可以得到用直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角函数：
sina=
OP-b.coaa=
M
OM
=a,tana
MP b
OP
OM-a
我们把上面那个以原点0为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.任意角的三角函数
仿照上面的做法，下面给出任意角的三角函数的定义
设角的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交于点P(,割)，那
么：
(1)将y叫做角a的正弦，记为ina,即si血a=y;
（2)将x叫做角a的余弦，记为cosa,即cosa=x;
(3)将分式兰n叫做角a的正切，记为tama,即tana=兰(e≠0).
可以看出，当a=标+k∈z)时，a的终边落在轴上，此时z=0,所以tana=y无意义.除
此之外，对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的，符合构成函数的标准，所以：正弦、余
弦、正切都是以角为自变量，一单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们三
个统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系（参看《弧度制》一
讲)，因此三角函数可以看成是R+R的函数
由于之前说过，根据相似三角形的知识，对于确定的角α，它的正弦、余弦以及正切值固定不
变，也就是说点的选取不必须为终边与单位圆的交点，这样，我们得到角的三角函数值的更一
般求法：
设角终边上一任意一点的坐标为(x,),它与原点的距离为r,则有
sina=y
=2
第2页（共9页）三角函数的定义（知识讲解）
课程要求：
1.理解任意角的三角函数的概念：
2.利用三角函数的定义判断各个象限角的三角函数值符号并从中提炼三角函数值的分布规律；
3.掌握单位圆的概念，能利用单位圆定义任意角的三角函数：
4.利用诱导公式一实现三角函数值的转化.
任意角的三角函数
1.锐角的三角函数
如图：
P(a,b)
M
设锐角α的顶点与原点0重合，始边与轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终
边上任取一点P(a,),它与原点的距离r=√a2+2>0.过P作轴的垂线，垂足M,则线段
OM的长度为a,线段MP的长度为b
根据初中学过的三角函数定义，我们有：
OM-
由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改
变，因此我们可以将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，如下图：
第1页（共6页）
y
P(a,b
4(1,0)
M
这样就可以得到用直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角函数：
sina=
OP-b.coaa=
M
OM
=a,tana
MP b
OP
OM-a
我们把上面那个以原点0为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.任意角的三角函数
仿照上面的做法，下面给出任意角的三角函数的定义
设角的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交于点P(,割)，那
么：
(1)将y叫做角a的正弦，记为ina,即si血a=y;
（2)将x叫做角a的余弦，记为cosa,即cosa=x;
(3)将分式兰n叫做角a的正切，记为tama,即tana=兰(e≠0).
可以看出，当a=标+k∈z)时，a的终边落在轴上，此时z=0,所以tana=y无意义.除
此之外，对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的，符合构成函数的标准，所以：正弦、余
弦、正切都是以角为自变量，一单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们三
个统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系（参看《弧度制》一
讲)，因此三角函数可以看成是R+R的函数
由于之前说过，根据相似三角形的知识，对于确定的角α，它的正弦、余弦以及正切值固定不
变，也就是说点的选取不必须为终边与单位圆的交点，这样，我们得到角的三角函数值的更一
般求法：
设角终边上一任意一点的坐标为(x,),它与原点的距离为r,则有
sina=y
=2
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