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诱导公式（知识讲解）
课程要求：
1.能够借助于单位圆利用对称性推导诱导公式；
2.理解从诱导公式中提炼出的归结原则：
3.能够利用诱导公式解决三角函数的求值化简和证明问题.
一、推导诱导公式（二）、（三）、（四)
我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性，能否利用圆的这种对称性来研究三角
函数的性质呢？
对于给定的一个角a
1·角π+a、T一的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
2.角-的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
3.角？-的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
做出下图：
OA:角x的终边；
OB:角π-u的终边；
OC:角π+x的终边；
OD:角-a的终边；
08:角号-a的终边，
OF:y=x·
由上图不难发现：
1.角π一a的终边与角α的终边关于轴对称；角π+a的终边与角α的终边关于原点对称；
2.角-a的终边与角a的终边关于x轴对称：
3.角-a的终边与角的终边关于y=轴对称.
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下面，我们结合三角函数的定义，由上述对称性来讨论这些角的三角函数的关系，
y
P
0
A
P
如上图，设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为B(,).由于角π+a的终边与角a的终边关于
原点对称，角π+α的终边与单位圆的交点P与点关于原点O对称，因此点P的坐标是(-，一)
.由三角函数的定义得：
sina=y,cosa=a,tana=y
sin(x+a)=,cos(x+a)=-2,tana=y
从而得诱导公式（二）：
sinπ十a)=-ina,
co8(T十a)=-co8a,
tan(π+a)=tana.
同理，按照上面的思路，还能得到诱导公式（三）：
sin(-a)=-s血a
cos(-a)=cosa
tan(-a)=-tana
利用诱导公式（二）和诱导公式（三)还能推导出诱导公式（四）：
sin(π-a)=sin[r+（-al=-sin(-a)=ina,
cos(-a)=cos[+(-a)]=-cos(-a)=-cosa,
tan(x-a)=tan[+(-a)]tan(-a)=-tan a.
【补充说明】
(1)诱导公式（一）、（二）、（三）、（四)可以概括如下：
形如k.2r十x(k∈ )），-a,T士α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把a看成瑞
角时原函数值的符号，概括成一句话：“函数名不变，符号看象限”.其中“函数名不变”是指等是两
第2页（共6页）诱导公式（知识讲解）
课程要求：
1.能够借助于单位圆利用对称性推导诱导公式；
2.理解从诱导公式中提炼出的归结原则：
3.能够利用诱导公式解决三角函数的求值化简和证明问题.
一、推导诱导公式（二）、（三）、（四)
我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性，能否利用圆的这种对称性来研究三角
函数的性质呢？
对于给定的一个角a
1·角π+a、T一的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
2.角-的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
3.角？-的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
做出下图：
OA:角x的终边；
OB:角π-u的终边；
OC:角π+x的终边；
OD:角-a的终边；
08:角号-a的终边，
OF:y=x·
由上图不难发现：
1.角π一a的终边与角α的终边关于轴对称；角π+a的终边与角α的终边关于原点对称；
2.角-a的终边与角a的终边关于x轴对称：
3.角-a的终边与角的终边关于y=轴对称.
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下面，我们结合三角函数的定义，由上述对称性来讨论这些角的三角函数的关系，
y
Py
0
A
P
如上图，设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为B(,).由于角π+a的终边与角a的终边关于
原点对称，角T+α的终边与单位圆的交点P与点关于原点O对称，因此点P的坐标是(-无，一)
.由三角函数的定义得：
sina=y,cosa=a,tana=y
sin(x+a)=,cos(x+a)=-2,tana=y
从而得诱导公式（二）：
sinπ十a)=-ina,
co8(T十a)=-co8a,
tan(π+a)=tana.
同理，按照上面的思路，还能得到诱导公式（三）：
sin(-a)=-s血a
cos(-a)=cosa
tan(-a)=-tana
利用诱导公式（二）和诱导公式（三)还能推导出诱导公式（四）：
sin(π-a)=sin[r+（-al=-sin(-a)=ina,
cos(-a)=cos[+(-a)]=-cos(-a)=-cosa,
tan(x-a)=tan[+(-a)]tan(-a)=-tan a.
【补充说明】
(1)诱导公式（一）、（二）、（三）、（四)可以概括如下：
形如k.2r十x(k∈ )），-a,T士α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把a看成瑞
角时原函数值的符号，概括成一句话：“函数名不变，符号看象限”.其中“函数名不变”是指等是两
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