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同角三角函数基本关系式（知识讲解）
课程要求：
1.能够推导出同角三角函数基本关系式：
2.能够学会使用同角三角函数基本关系式求解三角函数值；
3.综合利用同角三角函数基本关系式和诱导公式一解题，
一、同角三角函数的基本关系式
如下图：
y
M
在单位圆中，P(c,)是圆上一点，正弦线MP、余弦线0M和半径OP三者构成直角三角形，而且
0P=1,因此e2+y2=1,即sin2a+co82a=1.
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当a≠+：∈)，有脚。
cos a
tana.
语言描述为：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切
补充说明
(1)注意“同角”，这里“同角“有两层含义，一是“角相同”，二是对任意”一个角（在使函数有意义
的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如si23B+cos238=1,但是
in2a+cos2B=1就不一定成立了；
(2)in2a是(sina)的简写，读作sima的平方”，不能将in2a等效成si血a2,前者是角a的正弦的
平方，后者是角α的正弦，二者是不同的，要弄清区别并能正确书写：
(3)借助于上述两个公式，已知角α的某一个三角函数值，则可以计算出另外两个三角函数值.
第1页（共6页）
已知是第二象限的角，i血0=
，则am的值为一
答案
4
解析
,为第二象限角，血9=
5
,cos9=-V1-sin29=-4
5
则tan0=
sin
3
Cos
二4
2
若in0=m-3
二2十5，cos0=n2管，则m的值为(）·
A.0
B.8
C.0或8
D.3答案
C
解析
由题可知
m-3)2
4-2mY
m+5/
m+5
=1,解得0或8.
3
若8ina+im2a=1,则cos2a+cos4a等于(）·
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6
解析
已知sina+in2a=1,所以sima=1-im2a=cos2a,
所以cos2a+cosa=ina+sin2a=1.
4
已知sina=m(|ml答案
当a为第一、四象限角时，tana=
m
V1-m2
当a为第二、三象限角时，tana=-
m
V1-m2
第2页（共6页）
解析
.s血a=m（m≠0，m≠土1），
cosa=士√1-im'a=士√1-m
(当a为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)·
∵当a为第一、四象限角时，tana=
m
√1-m2
当a为第二、三象限角时，tana=一
m
√1-m2
二、
同角三角函数的基本关系式的化简和求值
1.利用同角三角函数的基本关系式化简
三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数
尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值
同角三角函数式化简过程中常用的方法：
①对于根式，可以考虑将根式内部化为完全平方式，然后去根号达到化简的目的
②化切为弦，即把非正余弦的函数都化为正余弦函数，从而减少函数名称，达到化简目的
③对于高次三角函数式，可借助于因式分解，或构造sia+cosa=1,以降低函数次数，达到
化简的目的.
5
若sim49+cos40=1,则sin0+cos的值为(）·
A.0
B.1
C.-1
D.1
答案
0
解析
(s20+co820)2=sin0+cos9+2sin20co820,sim20+co820=1,8in40+c0840=1,
.sincos0=0,..(sin+cos0)2=1+2sin0cos0=1,..sin0+cos0=+1.
6
已知sina,tana=l,则co8a=
答案
-1+5
第3页（共6页）同角三角函数基本关系式（知识讲解）
课程要求：
1.能够推导出同角三角函数基本关系式：
2.能够学会使用同角三角函数基本关系式求解三角函数值；
3.综合利用同角三角函数基本关系式和诱导公式一解题，
一、同角三角函数的基本关系式
如下图：
y
M
在单位圆中，P(c,)是圆上一点，正弦线MP、余弦线0M和半径OP三者构成直角三角形，而且
0P=1,因此e2+y2=1,即sin2a+co82a=1.
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当a≠+：∈)，有脚。
cos a
tana.
语言描述为：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切
补充说明
(1)注意“同角”，这里“同角“有两层含义，一是“角相同”，二是对任意”一个角（在使函数有意义
的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如si23B+cos238=1,但是
in2a+cos2B=1就不一定成立了；
(2)in2a是(sina)的简写，读作sima的平方”，不能将in2a等效成si血a2,前者是角a的正弦的
平方，后者是角α的正弦，二者是不同的，要弄清区别并能正确书写：
(3)借助于上述两个公式，已知角α的某一个三角函数值，则可以计算出另外两个三角函数值.
第1页（共4页）
已知是第二象限的角，血0=，则如的值为一
若sin0=m-3
m+5 Cos=
n十行，则m的值为()
4-2m
A.0
B.8
C.0或8
D.33
若sina+im2a=1,则cog2a+cosa等于（）·
A.0
B.1
C.2
D.3
已知sinc=m(|m<1且m≠0)，求tana的值.
二、
同角三角函数的基本关系式的化简和求值
1.利用同角三角函数的基本关系式化简
三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数
尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值·
同角三角函数式化简过程中常用的方法：
①对于根式，可以考虑将根式内部化为完全平方式，然后去根号达到化简的目的
②化切为弦，即把非正余弦的函数都化为正余弦函数，从而减少函数名称，达到化简目的·
③对于高次三角函数式，可借助于因式分解，或构造i2a+cosα=1，以降低函数次数，达到
化简的目的
5
若sin40+cos40=1,则im0+cos的值为()，
A.0
B.1
C.-1
D.±1
6
已知sina·tana=1,则co8c=
若sin2a<0,co8a<0,化简cosa
1-sino
+sin
1-cos o
1+sina
1+c08a
第2页（共4页）

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