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正切函数的图像和性质（知识讲解）
课程要求：
1.借助于诱导公式和正切线，画出正切函数的图像
2.推导出正切函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性
有了正弦函数、余弦函数的图像和性质做铺垫，接下来我们研究正切函数y=ta的性质：
定义域
由同角三角函数基本关系式tanx=
8in无
,故要使正切有意义，需满足cose≠0，因此可得正切
函数划=tan的定义域为{到e≠m+k∈z小}
以此拓展：
(1)y=Aane+p)的定义域应为不等式az+p≠k标+5E的解集
(2)对于复合函数划=taf(e,其定义域应为不等式f(a)≠k标+k∈2)的解集
求函数y=√in无+tan的定义域.
2
求划=ane-)的定义域。
周期性
由诱导公式tan(x十x)=tanx可知正切函数是周期函数，周期为π.
3
函数划=tan(ax+君)(a≠0)的最小正周期为(）
A.
号
B.
C.
D.
a
三、奇偶性
由诱导公式tan(-x)=一tanx可知，正切函数是奇函数
第1页（共5页）
四、单调性
由正切线（参看《三角函数线》一讲）的变化规律可以得出，正切函数在(，)内是增函数
再结合正切函数的周期性可知：
正切函数在开区间(m一牙，k标+)k∈)内都是增函数
五、值域
依旧观察正切线，发现：
当：大于-且无限接近-时，正切线向下无限延伸；当：小于且无限接近时，正切线向上无
限延伸.因此，an在(-？，)内可以取任意实数，但无最大值和最小值
4
求y=√am的定义域
5
函数y=√og号am的定义域是（）·
A0B.a2km<2<2km+T,ke可
C.{xkr4k∈a到
Dapm-号六、图像
下面，利用正切线画出函数划=如x,2∈(，)的图像：
y-tanx,,x∈（←，）
第2页（共5页)
根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右拓展，就可以得到正切函数
y=am,x∈(-：k标+）)∈z)的图像（如下），我们称之为正切曲线。
3
元
3π
2
2
!
11111
y=tanx
从上图可以看出，正切曲线是呗相互平行的直线x=π+
:∈2)所隔开的无穷多支曲线组成
的
6
比较大小：in1cos1(用>”，“<"或="连接).
七、正切函数的图像和性质（易）（习题集）
方程tan(2c十
)=V3在区间0,2如止解的个数为(）·
A.5
B.4
C.3
D.2
8
函数划=血与y=tam的图象在(-，孕)上的交点有(）·
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
9
11
函数y=a如（吃2-3列在一个周期内的图象是（）·
第3页（共5页）正切函数的图像和性质（知识讲解）
课程要求：
1.借助于诱导公式和正切线，画出正切函数的图像·
2.推导出正切函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性
有了正弦函数、余弦函数的图像和性质做铺垫，接下来我们研究正切函数y=ta如的性质：
定义域
由同角三角函数基本关系式tan:=
8in无
,故要使正切有意义，需满足co8e≠0，因此可得正切
函数划=tan的定义域为{≠m+写∈Z列}
以此拓展：
（1)y=Aa(am+p)的定义域应为不等式ax+p≠标+5k∈Z)的解集.
(2)对于复合函数划=af(,其定义域应为不等式f(回≠标+kez)的解集
求函数y=√in无+tan的定义域
答案
e∈2km,2km+2)U(2m+2,2%m+列(kez)
解析
8in花≥0，
「2kr≤E≤2kr十π(k∈ )，
如≠m+要k∈Z ）→
龙卡r十(k∈Z )
→2k<2<2+或2m+5<<2m+:(ke2),
9y
即a∈2,2m+2u2m+,2r+网(kez).
2
求划=ae-写的定义域
答案
ae≠誓+e2网到
解析
ee
+km,k∈Z
第1页（共10页）
二、
周期性
由诱导公式tan(x十)=tanx可知正切函数是周期函数，周期为m.
3
函数g=amae+合(a≠0)的最小正周期为（)
2n
B.
2π
C.
lal
答案
解析
由正切函数的周期公式可知T=
T
三、奇偶性
由诱导公式tan(-x)=-tanx可知，正切函数是奇函数.
四、单调性
由正切线（参看《三角函数线》一讲）的变化规律可以得出，正切函数在（分，）内是增函数
再结合正切函数的周期性可知：
正切函数在开区间（标-：x+）(∈2）内都是增函数
五、值域
依旧观察正切线，发现：
当：大于-且无限接近-时，正切线向下无限延伸：当：小于且无限接近时，正切线向上无
限延伸.因此，在(，）内可以取任意实数，但无最大值和最小值.
4
求y=√tan的定义域
答案
,名+树，keZ
第2页（共10页）
解析
由t≥0，得标≤2<智+m,k∈Z
所以求到=Van的定义域为，号+，k∈z.
5
函数g=√og:tam的定义域是(）·
Aa0B.[z2km<<2k
4k∈2可
π
C.{km<≤m+4k∈
D.a2m-<2<2m+年ke刀
答案
解析
由题意得
1g!tan≥0，→0tan>0,
tanz>0,
选C
六、图像
下面，利用正切线画出函数y=如：，∈（牙，）的图像：
-1
y=tanx,x∈（←受，）
根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右拓展，就可以得到正切函数
y=am,2∈(-：标+)k∈z)的图像（如下），我们称之为正切曲线.
第3页（共10页）

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