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二倍角的正弦、余弦、正切公式（知识讲解）
课程要求：
1.能够利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式：
2.逆向运用二倍角公式得到半角公式：
3.能够利用二倍角公式和半角公式进行化简和求值.
二倍角公式
上节课我们以公式Ca-为基础，推导出了六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基
础来推导倍角公式
选取三个和角公式a+、C+、Ta+,令a=B,这样就得到了三个倍角公式，请完成以下空
白：
S2a:s血2a=
C2a cos 2=
Ta tan 2=
对于C2a,根据同角三角函数基本关系式si2α+cos2a=1,还可以得到另外两种形式，即
cos 2a cos2a-sin2a=
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2的三角函数之间的关系·
【补充说明】
(1)这里的倍角"专指二倍角”，遇到三倍角"等名词时，“三"字等不可省去
(2)倍"是描述两个数量之间关系的，2a是的二倍，4a,是2公的二倍，分是的二倍，这里蕴含
着换元的思想
(3)要重视倍角公式的逆用，比如sim3acos3a=
×2i3aco93a=
1
2i血6a,这体现了配凑的
思想：
(4)观察cos2a的三种表达式，发现2cos2a-1和1-2sina只含有a的一种三角函数值，比较利
于求值，而cos2a-ima具有平方差公式的外形，保持这种外形往往有利于化简；
(5)对于S2a和C2a,对角a没有限制，但是在使用Ta时，要保证分母1一tan2a有意义而且tana
有意义，那么具体范围大家可以求解一下（答案：a≠m士且a≠标+写k∈）
第1页（共6页）
已知血a-}那么cs2a等于(）
7
A.26
8名
24
4
25
D.-2
答案
解析
由二倍角的余弦公式可得cos2a:=1-2sin2a=1-2×
97
25=251
2
函数f()=i血xcos的最大值是
答案
1-2
解析
f)=n,6o2=子n2a,所以最大值为}
3
已知a为第二象限角，ina=
点，则im2a=（).
A
8.
12
C.
12
D.
4
5
答案
解析
因为a是第二象限角，所以osa=-V1-na=-号
所以sin2a=2 sin a cosa=2×
3
24
4
已知血a=号+cosa,且ae(0,),则
c082a_
n(a)
的值为
答案
V14
2
1
1
解析
由sina=
2+casa,得na-cosa=互
1
.'(sina-cos a)2=1-2sina cosa=
手2血ac08a=4
cos 2a
cosa-sin2a (sin a+cos a)
in(a-）号(sina-cosa)
第2页（共6页）二倍角的正弦、余弦、正切公式（知识讲解）
课程要求：
1.能够利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式：
2.逆向运用二倍角公式得到半角公式：
3.能够利用二倍角公式和半角公式进行化简和求值.
二倍角公式
上节课我们以公式Ca-为基础，推导出了六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基
础来推导倍角公式
选取三个和角公式a+、C+、Ta+,令a=B,这样就得到了三个倍角公式，请完成以下空
白：
S2a:s血2a=
C2a cos 2=
Ta tan 2=
对于C2a,根据同角三角函数基本关系式si2α+cos2a=1,还可以得到另外两种形式，即
cos 2a cos2a-sin2a=
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2的三角函数之间的关系·
【补充说明】
(1)这里的倍角"专指二倍角”，遇到三倍角"等名词时，“三"字等不可省去
(2)倍"是描述两个数量之间关系的，2a是的二倍，4a,是2公的二倍，分是的二倍，这里蕴含
着换元的思想
(3)要重视倍角公式的逆用，比如sim3acos3a=
×2i3aco93a=
1
2i血6a,这体现了配凑的
思想：
(4)观察cos2a的三种表达式，发现2cos2a-1和1-2sina只含有a的一种三角函数值，比较利
于求值，而cos2a-ima具有平方差公式的外形，保持这种外形往往有利于化简；
(5)对于S2a和C2a,对角a没有限制，但是在使用Ta时，要保证分母1一tan2a有意义而且tana
有意义，那么具体范围大家可以求解一下（答案：a≠m士且a≠标+写k∈）
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已知血a-}那么cs2a等于(）
、
A.26
8-6
C.
D.-2
4
5
2
函数f代)=血花cosx的最大值是
3
，则sin2a=(）
3
已知a为第二象限角，inc=
A器
12
B.一25
2
C.25
0.
24
4
已知ina=
+cosa,且ae(o,),则
cos 2c
n(a)
的值为一。
二、
二倍角公式的常见变换
1.链式变换：
1-(sin a-cos a)2=2sin a cos a sin 2a =2sin a cos a=(sin a+cos a)2-1
2.平方差变换：
cos 2a cos2a-sin2a =(cosa+sin a).(cos a-sin a)
3.降幂变换：
cos2a=
1+cos 2a
2
；in2a=
1-cos 2a
2
4.升幂变换：
1+c08a=20og2
2i1-c06a=2sin a
2
5.Sa+与Sa-相加减可以得到in和lcossinB,相比得到ang
tan B'
6.Ca+)与Ca-)相加减可以得到si血a血和cos a COs B,相比得到tan a tanB
5
设血（匠+0）=5，则n29=(）
Ag
7
B号
c
6
化简
sin235°-号
co810°c0s80°
=（
A.-2
C.-1
D.1
第2页（共3页）

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