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正弦函数、余弦函数的性质（知识讲解）
课程要求：
1.结合诱导公式和周期性的定义推导三角函数的周期性及求法
2.根据正弦曲线和余弦曲线，总结出这两种函数的奇偶性、单调性、最大值与最小值·
正弦函数、余弦函数的定义域
由正弦曲线和余弦曲线的图像观察可得，正弦函数y=如和余弦函数y=cos的定义域均为R·
在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，则由解析式的意义可得到关于正弦和余弦的
三角不等式组，解之即可
求函数划=
2cos龙
8inx-co8无
的定义域·
答案
{到2≠m+∈}
解析
由题意有i血x一co卡0，作出正弦曲线和余弦曲线，观察两个图像的交点坐标为
+±）
2
,k∈Z,
因此函数的定义域为{≠标+牙，k∈Z}
2
函数y=lg(cos花-inx)的定义域是
答案
(2km-3
,2+eea到
解析
由cos花-i血x>0,得co8花>im花.
根据数形结合知2标-7<2<2hr+∈石.
函数划=gco88-血的定义域为(：2r-F<2<2m+子，keZ
4
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二、
正弦函数、余弦函数的值域与最值
由正弦曲线可知，函数划=血的值域为-1，刂，且当：=2k标+k∈时，取最大值1；当
=2+k∈)时，取最小值-1
由余弦曲线可知，函数y=co8x的值域为-1,1]，且当=2x(化∈ )时，取最大值1；当
x=2kr+π(k∈Z)时，y取最小值-1.
利用y=i血x和y=cosx的值域和最值可求出由它们复合而成的函数的值域和最值，
3
求函数划=
2im优+1的值域。
2sina-1
答案
17
U[3,+o∞).
解析
由已知可得sinx=
y+1
2(y-1)
因为血ze-1,且血a≠分
m以1品<写
≤1
解得v≤或w≥3
故所求函数的值域为
1]uB,+o∞)
4
函数y=in花-inz的值域是
答案
[-2,2
解析
0,e≥0，
y=int-血|x{2血，x<0,
因此其值域为[-2,2)·
5
函数y=血2+in花-1的值域为
答案
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解析
令t=血龙，则t∈[-1,1刂，
1）2
=+t-1=（+
-5
当=时，
4
当t=1时，max=1,
函数的值域是
三、正弦函数、余弦函数的周期性
1.周期性的定义
对于函数y=f(),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，
f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f()叫做周期函数，把不为零的常数T叫做这个函数
的周期
对于周期函数f(x),如果在它所有周期中存在一个最小的整数，则这个最小正数就叫做f()的最
小正周期
由诱导公式或者正余弦曲线可知，正弦函数和余弦函数均为周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0)都是
它的周期，最小正周期是2x·
对于函数y=f()=Ai(we+p),根据诱导公式，显然有
As血oz+)=A血(oz+p+2=Asm~(e+2)+9k∈团，结合函数解折式，上式
等价于1@)=f(2+）k∈习，故2低?②均为函数的周期，从而其最小正周期为
引-衙
同理对于函数y=Acos(wz十)，其最小正周期也为”
2.y=Asin(wx+p)和y=Acos(wx+p)的周期
【拓展】上述推导情形能否拓展到更一般的情形呢，即如果知道函数y=f(x)的周期为T,那么
函数y=fwx)的周期为？，是否成立？
请读者自行研究一下并运用，
第3页（共9页）正弦函数、余弦函数的性质（知识讲解）
课程要求：
1.结合诱导公式和周期性的定义推导三角函数的周期性及求法
2.根据正弦曲线和余弦曲线，总结出这两种函数的奇偶性、单调性、最大值与最小值·
正弦函数、余弦函数的定义域
由正弦曲线和余弦曲线的图像观察可得，正弦函数y=如和余弦函数y=cos的定义域均为R·
在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，则由解析式的意义可得到关于正弦和余弦的
三角不等式组，解之即可，
2cos花_的定义域.
求函数y=in-co9亚
函数y=lg(cos-sinx)的定义域是
正弦函数、余弦函数的值域与最值
由正弦曲线可知，函数划=血的值域为-1，，且当=2m+k∈Z)时，取最大值1；当
2=2+经k∈团时，取最小值-1.
由余弦曲线可知，函数U=cos的值域为-1,1刂，且当x=2kr(k∈Z)时，y取最大值1；当
龙=2kr+π(k∈Z )时，y取最小值-1.
利用y=血和y=cosx的值域和最值可求出由它们复合而成的函数的值域和最值·
3
求函数划=
2ing+1的值域，
281n能-1
函数y=i血x-i血e的值域是
5
函数y=im+ine-1的值域为
第1页（共5页）
三、正弦函数、
余弦函数的周期性
1.周期性的定义
对于函数y=f(),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，
f(c+T)=f(x)都成立，那么就把函数则=f()叫做周期函数，把不为零的常数T叫做这个函数
的周期
对于周期函数f(),如果在它所有周期中存在一个最小的整数，则这个最小正数就叫做f()的最
小正周期
由诱导公式或者正余弦曲线可知，正弦函数和余弦函数均为周期函数，2kπ（k∈Z且k卡0)都是
它的周期，最小正周期是2π.
对于函数y=(x)=Asi(we+p),根据诱导公式，显然有
As血ea十)=Am(or+p+2)=A血~(e+2物）十yk∈2，结合函数解折式，上式
等价于f回)=f(（e+2）k∈)，故2密低∈Z列均为函数的周期，从而其最小正周期为
引-
同理对于函数y=Acos(wx十9)，其最小正周期也为如
2.y=Asin(ωx+p)和y=Acos(wx+p)的周期
【拓展】上述推导情形能否拓展到更一般的情形呢，即如果知道函数则=f(x)的周期为T,那么
函数y=fx的周期为？，是否成立？
请读者自行研究一下并运用
3.y=sinx和y=|cosx的周期
下面从数和形两个方面去考察y=s血x的周期：
(1)对于函数y=f()=si山x,假设其周期为T,则有f(x)=f(e+T)恒成立，即
|s血x=|sin(+T)儿，因此有i血(x+T)=士i血x,结合诱导公式，可以知道满足条件的
T=kπ(k∈ ，故原函数的最小正周期为π
(2)做出y=ls血x的图像（具体做法参看必修一《函数的图像》一讲）如下：
第2页（共5页）】

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