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两角和与差的正弦、余弦、正切公式（知识讲解）
课程要求：
1.了解并掌握用向量法推导出两角差的余弦公式的过程；
2.利用换元的思想配合诱导公式推导出另外三个公式：C+、S+)、Sa-);
3.利用之前研究同角三角函数基本关系式时掌握的弦化切的思想推导出Ta+和T。-);
4.熟练掌握六个公式的使用，能解决一些化简、求值、证明的问题：
5.掌握辅助角公式的由来并能够熟练运用辅助角公式解决问题
当知道任意两个角α、的大小时，小学生都能算出α士的大小；但是若只知道角α、的三角函
数值，是否也能算出α士的三角函数值呢？这就是本讲要研究的内容：
差角的余弦公式
下面我们运用平面向量的知识进行探究
如下图：
a终边
vA
B终边
P
终边
a终边
B
B
0
在平面直角坐标系xOy内作单位圆0，以Ox为始边作角α，B,它们的终边与单位圆O的交点分别
为A,B.则0A=(co8a,$ina),OB=(cosB,in).
由向量数量积的坐标表示，有
OA.O=(co8a,血a).(co8月，血)=co8 B+sin血B.
设0A与0的夹角为9，则
OA.O扇=Oi.co0=cos0=+ic血B.
根据上面图形的两种情况可以总结得到：α-B=2kπ士0(k∈Z),所以
co8(a-)=co80.
第1页（共5页）
上面两式联立，就有了下面的公式：
cos(a-B)=cos a cos B+sin a sin B
此公式给出了任意角α，的正弦、余弦值与其差角α一的余弦值之间的关系.称为差角的余弦
公式，简记作Ca-)·
有了公式Ca-以后，我们只要知道cosa、cosR、i血a、i血的值，就可以求得cos(a一)的值
了
已知cosa=着，血B=-,a∈（货），Be()
3
求cos(a-).
2
已知cos(a-)coga+in(a-)sina=m,且B为第三象限角，求sinB.
3
已知点A(cos80°，im80),B(cos20,血20)，则A=(）.
A
B.V②
C.v3
D.1
2
2
已知cosa-cosB=专，血a-血月=-号，求cos(e-的值，
二、C(a+B)、S(+B)、S(a-β)的推导
有了C-,,就可以以之为基础推导出另外三个公式，那我先做个示范，剩下的请读者自行完成
cos(a+)=cosa-(-],根据Ca-周，有cos[a-(-]=coscos(-)+iain(-),接下来
根据诱导公式（三）
cos(-)=cosB,in(-)=-血B,整合上面的等式，有cos(a+)=co8 COs B-i血ainB,这
样，就得到了两角和的余弦公式Ca+网：cos(a+周)=cos a:cos B-血c sin B.
请读者仿照着相同的思路，把下面的空白补充完整：
1.5t)sin(a+B=c06[-)=c0s[(2-a)+=
2.S(a-B)sin(a-B)=sinla+(-B)]=
5
8in20°cos10°-cos160sin10°=(）
A.-
2
8
c
0.2
第2页（共5页）两角和与差的正弦、余弦、正切公式（知识讲解）
课程要求：
1.了解并掌握用向量法推导出两角差的余弦公式的过程；
2.利用换元的思想配合诱导公式推导出另外三个公式：C+、S+)、Sa-);
3.利用之前研究同角三角函数基本关系式时掌握的弦化切的思想推导出Ta+和T。-);
4.熟练掌握六个公式的使用，能解决一些化简、求值、证明的问题：
5.掌握辅助角公式的由来并能够熟练运用辅助角公式解决问题
当知道任意两个角α、的大小时，小学生都能算出α士的大小；但是若只知道角α、的三角函
数值，是否也能算出α士的三角函数值呢？这就是本讲要研究的内容：
差角的余弦公式
下面我们运用平面向量的知识进行探究
如下图：
a终边
vA
B终边
P
终边
a终边
B
B
0
在平面直角坐标系xOy内作单位圆0，以Ox为始边作角α，B,它们的终边与单位圆O的交点分别
为A,B.则0A=(co8a,$ina),OB=(cosB,in).
由向量数量积的坐标表示，有
OA.O=(co8a,血a).(co8月，血)=co8 B+sin血B.
设0A与0的夹角为9，则
OA.O扇=Oi.co0=cos0=+ic血B.
根据上面图形的两种情况可以总结得到：α-B=2kx士0（∈ ，所以
co8(a-)=co80.
第1页（共10页）
上面两式联立，就有了下面的公式：
cos(a-B)=cos a cos B+sin a sin B
此公式给出了任意角α，的正弦、余弦值与其差角α一的余弦值之间的关系.称为差角的余弦
公式，简记作Ca-)·
有了公式Ca-以后，我们只要知道cosa、cosR、i血a、i血的值，就可以求得cos(a一)的值
了
已知casa=-音，血B=-,a∈(G),Be(）,求csa-
答案
4vW7-9
20
解析
oosa=-6,ae(牙)，
4
·'sina=V1-coga=6.
血8=-是8e68别，
cosB=-V1-i如2g=-y7
4
eoa-=6 o+血a血B=(号x(7)+x(-是》
4w7-9
20
2
已知cos(a-)cosa+in(a-)sing=m,且为第三象限角，求sinB.
答案
-√1-m2
解析
.'cos(a-B)cos a+sin(a-B)sin a cos[(a-B)-a]cos(-B)cosB=m,
又为第三象限角，
sin B=-V/1-cos2B=-V1-m2.
3
已知点Ac0880°，血80)，B(c0820,血20°)，则A=(）.
A
B.v②
C.v3
D.1
2
2
第2页（共10页）

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