资源简介
平面向量的基本概念(知识讲解)
课程要求:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的含义;
2.掌握与平面向量相关的要素和概念;
3.掌握相等向量和共线向量的概念并能够判断.
向量的物理背景与概念
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另一点
的位置.如下图,如何由A确定B点的位置?
北
西
东
45
B
南
一种常用的方法是,以A为参照点,用B点与A点之间的方位和距离确定B点的位置.如,B点在A
点南偏东45°,30干米处·这样,在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点
的位置,有向线段AB就是A点与B点之间的位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位
移这种既有大小又有方向的量,加以抽象,就得到了向量的概念·
数学中,我们把这种既有大小,又有方向的量叫做向量(物理学中常称为矢量).而把那些只有
大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等),称为数量(物理学中常称
为标量)
【补充说明】
(1)向量不仅有大小,还有方向,大小是代数特征,方向是几何特征,方向没法比较大小,故
向量不能比较大小·
第1页(共7页)
(2)高中数学中研究的向量都是自由向量,只有大小和方向,没有特定的位置,可在平面内自
由平移,因此和物理学中的向量力是有区别的,物理学中的向量力不仅有大小和方向,还有作用
点
1
判断下列命题的真假
(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量:
(2)
数轴是向量;
(3)温度是向量.
答案
(1)是真命题:
(2)
假命题
(3)假命题.
解析
(1)是真命题
(2)是假命题,因为数轴只有方向,而没有大小之分
(3)是假命题,因为温度只有大小之分,而没有方向,尽管测量温度时,
有零上与零下之分,但这是人为规定的
二、
向量的几何表示
由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示,而且不同的点表示不同
的数量·对于向量,我们常用带箭头的线段来表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表
示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向,
我们知道,带有方向的线段叫做有向线段,如下图:
B(终点)
A(起点)
我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB,起
点写在终点的前面·
第2页(共7页)
已知AB,线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度,记作AB.有向线段包含三个要素:起
点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它们的终点就唯一确定
向量可以用有向线段表示.向量AB的大小,也就是向量AB的长度,我们称之为向量的模长,简
称模,记作AB.长度为0的向量叫做零向量,记作0或0.长度等于1个单位的向量,叫做单位
向量
向量也可用小写字母d,6,。,表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如:
AB,CD
【补充说明】
(1)线段并没有方向上的区别,例如线段AB和线段BA是一样的,有向线段则不然;
(2)既然向量的模长表示长度,那么任意向量的模都应该是非负数:
(3)要注意零向量与数字0的区别,而且零向量的方向是任意的,这一点很特殊,解答问题时一
定要看清题目中的描述,不要忘记考虑零向量这种情况,如同集合A二B不要忘记考虑A可能是
空集这一情况一样;
(4)下一节的向量的线性运算中会讲到,一个向量除以它的模长,会得到一个单位向量,并且
它的方向和原向量一致,
2
已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000m到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行
2000m到达丙地,再从丙地向西南方向飞行1000√②km到达丁地,问:丁地在甲地的什么方向?
丁地距甲地多远?
答案
丁地在甲地的东南方向,距甲地1000√②km.
解析
第3页(共7页)平面向量的基本概念(知识讲解)
课程要求:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的含义;
2.掌握与平面向量相关的要素和概念;
3.掌握相等向量和共线向量的概念并能够判断.
向量的物理背景与概念
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另一点
的位置.如下图,如何由A确定B点的位置?
北
西
东
45
B
南
一种常用的方法是,以A为参照点,用B点与A点之间的方位和距离确定B点的位置.如,B点在A
点南偏东45°,30干米处·这样,在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点
的位置,有向线段AB就是A点与B点之间的位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位
移这种既有大小又有方向的量,加以抽象,就得到了向量的概念·
数学中,我们把这种既有大小,又有方向的量叫做向量(物理学中常称为矢量).而把那些只有
大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等),称为数量(物理学中常称
为标量)
【补充说明】
(1)向量不仅有大小,还有方向,大小是代数特征,方向是几何特征,方向没法比较大小,故
向量不能比较大小·
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(2)高中数学中研究的向量都是自由向量,只有大小和方向,没有特定的位置,可在平面内自
由平移,因此和物理学中的向量力是有区别的,物理学中的向量力不仅有大小和方向,还有作用
点
1
判断下列命题的真假
(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量;
(2)数轴是向量;
(3)温度是向量.
二、
向量的几何表示
由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示,而且不同的点表示不同
的数量,对于向量,我们常用带箭头的线段来表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表
示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向
我们知道,带有方向的线段叫做有向线段,如下图:
B(终点)
A(起点)
我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB,起
点写在终点的前面
已知AB,线段AB的长度也叫作有向线段A的长度,记作A可.有向线段包含三个要素:起
点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它们的终点就唯一确定
向量可以用有向线段表示.向量AB的大小,也就是向量AB的长度,我们称之为向量的模长,简
称模,记作AB.长度为0的向量叫做零向量,记作0或0.长度等于1个单位的向量,叫做单位
向量
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