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平面向量基本定理（知识讲解）
课程要求：
掌握平面向量基本定理的证明和应用.
平面向量基本定理
给定平面内任意两个向量、对，根据上节的内容，我们综合利用向量的加减法运算和数乘运
算，可以轻松做出向量3 +2、e-2e2.那么平面内的任一向量是否都可以用形如
λ1e+2e2的向量表示呢？
如下图：
e
设、是同一平面内两个不共线的向量，d是这平面内的任一向量，我们通过作图研究d与e
、之间的关系.
如下图：
M
a
N
B
第1页（共4页）
在平面内任取一点0，作0A=,O=含，0心=d.过点c作平行于直线0的直线，与直线
OA交与点M;过点C作平行于直线0A的直线，与直线OB交于点N
由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得Od=A1,ON=2或.由于
Od=OM+O,所以d=h1d+2或.也就是说，任一向量d都可以表示成1+w的形
式
由上述过程，可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量、表示出
来.当、 确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这位我们研究问题带来极大的方
便
下面给出平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不同向量共线，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一
对实数、λ2，使d=入1+2.
我们把不共线的非零向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
【补充说明】
(1)同一平面内，只要是一组不共线的非零向量，都可以作为基底，基底不同，那么同一向量
对基底的分解结果就是不同的·
(2)平面内任意一个向量都可以用该平面内的一组不共线的非零向量线性表示，这是平面向量
基本定理的语言表述
(3)若给定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是说，当d、、给定，则1、2有唯
解
(4)平面向量基本定理还可以稍加拓展为如下结论：
对于平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式
唯一
【探究一】
请利用反证法对【补充说明】中的(3)进行证明，
二、
向量的夹角
不共线的向量有不同方向，他们的位置关系可用夹角来表示，关于向量的夹角，我们规定：
已知两个非零向量d和？.如下图：
第2页（共4页)
b
L
A
作0A=d,O形=言，则∠40B=0(0≤0≤)叫做向量d与6的夹角.
显然：
(1)当0=0时，d与b同向：当0=π时，d与b反向
(2)如果d与的夹角是鸳，我们说d与不垂直，记作d1方.
【补充说明】
(1)向量夹角是针对非零向量说的，因为零向量方向是任意的，因此零向量与其他向量的夹角
不固定，
(2)一定要区别开向量的夹角与直线的夹角，直线夹角的取值范围是口，
,而向量的夹角是
0,].
(3)确定两个向量的夹角时，一定要使其始点重合，此时成角才是向量的夹角，
三、
平面向量基本定理（易）（习题集）
1
有下列三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线的向量可以作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量.
其中正确的说法是()·
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
2
,或是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是()·
A.和e+e
B.e-2e2和e2-2e
第3页（共4页）平面向量基本定理（知识讲解）
课程要求：
掌握平面向量基本定理的证明和应用.
平面向量基本定理
给定平面内任意两个向量、对，根据上节的内容，我们综合利用向量的加减法运算和数乘运
算，可以轻松做出向量3 +2、e-2e2.那么平面内的任一向量是否都可以用形如
λ1e+2e2的向量表示呢？
如下图：
e
设、是同一平面内两个不共线的向量，d是这平面内的任一向量，我们通过作图研究d与e
、之间的关系.
如下图：
M
a
N
B
第1页（共5页）
在平面内任取一点0，作0A=,O=含，0心=d.过点c作平行于直线0的直线，与直线
OA交与点M;过点C作平行于直线0A的直线，与直线OB交于点N
由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得Od=A1,ON=2或.由于
Od=OM+O,所以d=h1d+2或.也就是说，任一向量d都可以表示成1+w的形
式
由上述过程，可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量、表示出
来.当、 确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这位我们研究问题带来极大的方
便
下面给出平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不同向量共线，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一
对实数、λ2，使d=入1+2.
我们把不共线的非零向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
【补充说明】
(1)同一平面内，只要是一组不共线的非零向量，都可以作为基底，基底不同，那么同一向量
对基底的分解结果就是不同的·
(2)平面内任意一个向量都可以用该平面内的一组不共线的非零向量线性表示，这是平面向量
基本定理的语言表述
(3)若给定了基底，那么分解形式是唯一的，也就是说，当d、、给定，则1、2有唯
解
(4)平面向量基本定理还可以稍加拓展为如下结论：
对于平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式
唯一
【探究一】
请利用反证法对【补充说明】中的(3)进行证明
二、
向量的夹角
不共线的向量有不同方向，他们的位置关系可用夹角来表示，关于向量的夹角，我们规定：
已知两个非零向量d和？.如下图：
第2页（共5页）
B
b
L
A
作0A=d,O形=言，则∠40B=0(0≤0≤)叫做向量d与6的夹角.
显然：
(1)当0=0时，d与b同向：当0=π时，d与b反向
(2)如果d与的夹角是鸳，我们说d与不垂直，记作d1方.
【补充说明】
(1)向量夹角是针对非零向量说的，因为零向量方向是任意的，因此零向量与其他向量的夹角
不固定，
(2)一定要区别开向量的夹角与直线的夹角，直线夹角的取值范围是口，】
而向量的夹角是
0,].
(3)确定两个向量的夹角时，一定要使其始点重合，此时成角才是向量的夹角，
三、
平面向量基本定理（易）（习题集）
1
有下列三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线的向量可以作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量.
其中正确的说法是()·
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
第3页（共5页）

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