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平面向量的线性运算（知识讲解）
课程要求：
1.掌握向量加减法的运算并理解其几何意义，
2.掌握向量的数乘运算并理解其几何意义
3.掌握向量运算的运算律，体会向量运算与数量运算的联系与区别，
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，人们从数的运算和向量的物理背景中得到启
发，引进了向量的运算
下面我们学习向量的线性运算·.
向量加法运算及其几何意义
如下图：
C
B
某对像从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同.
数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，因此，位移的合成可以看
作向量的加法
下面给出向量加法运算：
如下图：
第1页（共12页)
B
已知非零向量d、6,在平面内任取一点A,作A店=d,Bd=6,则向量Ad叫做d与的
和，记作d+b,即d+6=A+BC=Ad
求两个向量和的运算，叫做向量的加法，这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则·
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
如下图：
A
B
以同一点O为起点的两个已知向量d、为临边作ABCD,则以O为起点的对角线OC就是d与
的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，
最后，类比于输的运算，或者利用作图逼近的方法，给出如下一个规定：
对于零向量与任一向量d,有：d+0=0+d=d.
【补充说明】
(1)其实三角形法则可以用四个字概括，就是“首尾相接”，具体作法就是：两个向量共计有两个
起点和两个终点，把其中一个向量起点移动至另一个向量的终点，这样消失了一个起点和一个终
点，将剩余的起点连接终点构成新向量，这个向量就是两个向量的和.重复这个过程，将三角形
法则加以引申，就能实现多个向量求和：已知n个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向
量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求
和的多边形法则·
第2页（共12页）
(2)由(1)可以看出，三角形法则可以导出多个向量求和，这一点是平行四边形法则所不具有
的，这是三角形法则相比于平行四边形法则的第一个优点
(3)稍加思索就可以发现三角形法则对于两个向量共线时同样适用，但是当两个向量共线时，
平行四边形法则就不适用了（当然要是以动态的眼光去看待的话没有问题），这是三角形法则相
比于平行四边形法则的第二个优点
【探究一】
对于任意两个向量d、方，都有不等式云+引的思想去探究，并给出下面问题的答案：
d,处于什么位置时
(1)a+=a+:
(2)a+=-(或-).
【探究二】
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R,有
a+b=6+a,(a+b)+c=a+(6+c).
那么任意向量d,的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索·
已知正方形ABCD的边长为1，A应=d,Bd=言，Ad=d,则d+。+的长度为(）
A.0
B.2+2
C.√2
D.2√/2
答案
解析
由题意得d+6+仓=2d,又正方形ABCD的边长为1，所以AC=√2，
所以d+6+的长度为2√2.
2
设平面向量d、或、a的和a++略=可，如果平面向量、、满足耐1=2，矿顺时
针旋转30°后与同向，其中=1,2,3，那么（）·
A-++哈=dB.61-耐+扇=可c.+-哈=dD.+耐+=可
第3页（共12页）平面向量的线性运算（知识讲解）
课程要求：
1.掌握向量加减法的运算并理解其几何意义，
2.掌握向量的数乘运算并理解其几何意义
3.掌握向量运算的运算律，体会向量运算与数量运算的联系与区别，
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，人们从数的运算和向量的物理背景中得到启
发，引进了向量的运算
下面我们学习向量的线性运算·.
向量加法运算及其几何意义
如下图：
C
B
某对像从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同.
数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，因此，位移的合成可以看
作向量的加法
下面给出向量加法运算：
如下图：
第1页（共8页）
+6
B
已知非零向量d、6,在平面内任取一点A,作A店=d,Bd=6,则向量Ad叫做d与的
和，记作d+b,即d+6=A+BC=Ad
求两个向量和的运算，叫做向量的加法，这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则·
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
如下图：
A
B
以同一点O为起点的两个已知向量d、为临边作ABCD,则以O为起点的对角线OC就是d与
的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，
最后，类比于输的运算，或者利用作图逼近的方法，给出如下一个规定：
对于零向量与任一向量d,有：d+0=0+d=d.
【补充说明】
(1)其实三角形法则可以用四个字概括，就是“首尾相接”，具体作法就是：两个向量共计有两个
起点和两个终点，把其中一个向量起点移动至另一个向量的终点，这样消失了一个起点和一个终
点，将剩余的起点连接终点构成新向量，这个向量就是两个向量的和.重复这个过程，将三角形
法则加以引申，就能实现多个向量求和：已知n个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向
量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求
和的多边形法则·
第2页（共8页）
(2)由(1)可以看出，三角形法则可以导出多个向量求和，这一点是平行四边形法则所不具有
的，这是三角形法则相比于平行四边形法则的第一个优点
(3)稍加思索就可以发现三角形法则对于两个向量共线时同样适用，但是当两个向量共线时，
平行四边形法则就不适用了（当然要是以动态的眼光去看待的话没有问题），这是三角形法则相
比于平行四边形法则的第二个优点
【探究一】
对于任意两个向量d、方，都有不等式云+引的思想去探究，并给出下面问题的答案：
d,处于什么位置时，
(1)a+=a+:
(2)a+=-(或-).
【探究二】
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R,有
a+b=6+a,(a+6)+c=a+(b+c).
那么任意向量d,的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索·
已知正方形ABCD的边长为1，A应=d,Bd=方，Ad=d,则d++的长度为()
A.0
B.2+√2
C.√②
D.2√/2
2
设平面向量、或、的和+或+或=，如果平面向量、、满足耐1=2，顺时
针旋转30°后与同向，其中=1,2,3，那么()
A.-成+耐+品=dB.i1-动+耐=dC.+耐-耐=0D.+耐+=d
3若OA=8,Bd=5,则A的取值范围是(）.
A.[3,8]
B.(3,8)
C.3,13)
D.(3,13)
二、
向量减法运算及其几何意义
第3页（共8页）

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