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平面向量的数量积（知识讲解）
课程要求：
1.掌握数量积的几何意义及计算公式；
2.掌握平面向量数量积的性质和运算律；
3.掌握坐标表示下平面向量数量积的相关运算；
4.能够利用平面向量数量积求解模长和夹角·
平面向量数量积的含义及几何意义
1.平面向量数量积的含义
已知两个非零向量d与不，我们把数量cos加叫做d与的数量积（或内积），记作d.言
,即d.-dcos9
其中是d与b的夹角，我们规定，零向量与任一向量的数量积为0
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个
数量，而且这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，
【补充说明】
(1)数量积是向量间的一种特殊运算，它与数量的乘法是有区别的，不能用称号“×"连接，需用
实心点”.”连接，
(2)提醒：两个向量的夹角范围是[0，
2.平面向量数量积的几何意义
对于数量积的运算公式d.名=dBco86,我们把os叫做向量在d方向上的投影，显
然此投影值可正可负也可为0.
因此数量积d.6的几何意义是：数量积d.6等于d的模长d与6在d方向上的投影cos的
乘积
显然由投影的表达式，b在d方向上的投影与d在方向上的投影是不同的.
第1页（共8页）
再次根据数量积的运算公式这.了-回]同c阿以得到，在言方向上的投影河以写成这.了
,请同学们记住这种写法，后期在学习空间向量，利用空间向量求解空间角的时候会体会到这个
表达式的作用
二、
平面向量数量积的性质
下面给出根据平面向量数量积运算公式得到的一系列性质：
若d、6是非零向量，则有：
1.d.6=0台d16=0:
2.d-Va.di
3.若为d、6的夹角，则有cos9=
d.6
.可
4.a.s.
请读者自行证明上述四个结论
【补充说明】
(1)性质1可以解决有关向量垂直的问题；
(2)利用性质2可以进行向量的求模运算；
(3)性质3称为夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，利用此公式可以求解两个向量成角，
进而判断向量的位置关系，此公式还可以与三角函数相联系
(4)性质4可以处理有关范围或者最值以及不等式证明的问题，
三、平面向量数量积的运算律
丛数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数
量积运算才有意义·现在我们探索一下看看它会有哪些运算律
首先由数量积的定义，可以直接推出交换律成立
另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数入，有
@.8）=().=d.(3
在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了.向量的数量积是否具有分配律
第2页（共8页）平面向量的数量积（知识讲解）
课程要求：
1.掌握数量积的几何意义及计算公式；
2.掌握平面向量数量积的性质和运算律；
3.掌握坐标表示下平面向量数量积的相关运算；
4.能够利用平面向量数量积求解模长和夹角·
平面向量数量积的含义及几何意义
1.平面向量数量积的含义
已知两个非零向量d与不，我们把数量cos加叫做d与的数量积（或内积），记作d.言
,即d.-dcos9
其中是d与b的夹角，我们规定，零向量与任一向量的数量积为0
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个
数量，而且这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，
【补充说明】
(1)数量积是向量间的一种特殊运算，它与数量的乘法是有区别的，不能用称号“×"连接，需用
实心点”.”连接，
(2)提醒：两个向量的夹角范围是[0，
2.平面向量数量积的几何意义
对于数量积的运算公式d.名=dBco86,我们把os叫做向量在d方向上的投影，显
然此投影值可正可负也可为0.
因此数量积d.6的几何意义是：数量积d.6等于d的模长d与6在d方向上的投影cos的
乘积
显然由投影的表达式，b在d方向上的投影与d在方向上的投影是不同的.
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再次根据数量积的运算公式这.了-回]同c阿以得到，在言方向上的投影河以写成这.了
,请同学们记住这种写法，后期在学习空间向量，利用空间向量求解空间角的时候会体会到这个
表达式的作用
二、
平面向量数量积的性质
下面给出根据平面向量数量积运算公式得到的一系列性质：
若d、6是非零向量，则有：
1.d.6=0台d16=0:
2.d-Va.di
3.若为d、6的夹角，则有cos9=
d.6
.可
4.a.s.
请读者自行证明上述四个结论
【补充说明】
(1)性质1可以解决有关向量垂直的问题；
(2)利用性质2可以进行向量的求模运算；
(3)性质3称为夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，利用此公式可以求解两个向量成角，
进而判断向量的位置关系，此公式还可以与三角函数相联系
(4)性质4可以处理有关范围或者最值以及不等式证明的问题，
三、平面向量数量积的运算律
丛数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数
量积运算才有意义·现在我们探索一下看看它会有哪些运算律
首先由数量积的定义，可以直接推出交换律成立
另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数入，有
@.8）=().=d.(3
在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了.向量的数量积是否具有分配律
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