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平面向量的坐标表示（知识讲解）
课程要求：
(1)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
(2)会进行坐标表示下平面向量的线性运算：
(3)掌握坐标表示下两个向量共线的等价（充要）条件，
一、
平面向量共线的坐标表示
二、
平面向量的正交分解
由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量d,均可以分解为不共线的两个向量1和2品，
使d=d+2或.
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做
把向量正交分解.
如下图：
G
对于斜面上静止的物块，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解
中常见的一种情形
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便
下面我们就来体会这种方便：
三、
平面向量的坐标表示
第1页（共5页）
如下图：
在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、方作为基底.
对于平面内的一个向量d,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y,
使得：d=言+y方@
这样，平面内的任一向量d都可以由、y唯一确定，我们把有序数对(x,)叫做向量d的坐标，
记作：d=(,)②
其中x叫做d在x轴上的坐标，y叫做ad在轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.
显然，言=1,0)，方=0,1)，0=0,0).
如下图：
A(x,y)
在直角坐标平面中，以原点0为起点作0A=d,则点A的位置由向量a唯一确定，我们称0A为
向量d的位置向量，
第2页（共5页）
设0=+了，则向量OA的坐标(，)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(，)也就是
向量0的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表
示，这样就把一个既有方向又有大小的向量标量实数化，建立了向量与实数的联系，为后期向量
的数量化运算奠定了基础，实现了“形与“数"的结合.
补充说明
(1)学习了向量的坐标表示后，（心，）在平面直角坐标系内就有两层意义了，所以以后要加以区
分，表示点坐标时称点(，)，表示向量时称向量(x,)·
(2)要把点坐标和向量坐标区分开，向量相等，则对应横纵坐标一定相同，但是始点和终点的
坐标却可以不同
四、平面向量的坐标运算
已知d=(他1，斯)，=(2，)，那么如何计算d和的线性组合呢？
显然，其线性组合可以分解为如下三种运算：
1.加法运算：d+6:
2.减法运算：司-名：
3.数乘运算：λd
下面我们分别来计算：
+不-(（国司+助)+（京+肠）
由向量线性运算的结合律和分配律
可得：(+)+（京+助》
=(1+2)+(+助)
即：d+=(1十2，h十物).
同理可得：d-君=(1-2，劲-)
也就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）·
λd=A1+h)=证1+方
即：Ad=(A1,A斯)
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，
第3页（共5页）平面向量的坐标表示（知识讲解）
课程要求：
(1)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
(2)会进行坐标表示下平面向量的线性运算：
(3)掌握坐标表示下两个向量共线的等价（充要）条件，
一、
平面向量共线的坐标表示
二、
平面向量的正交分解
由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量d,均可以分解为不共线的两个向量1和2品，
使d=d+2或.
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做
把向量正交分解.
如下图：
G
对于斜面上静止的物块，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解
中常见的一种情形
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便
下面我们就来体会这种方便：
三、
平面向量的坐标表示
第1页（共6页）
如下图：
在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、方作为基底.
对于平面内的一个向量d,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y,
使得：d=言+y方@
这样，平面内的任一向量d都可以由、y唯一确定，我们把有序数对(x,)叫做向量d的坐标，
记作：d=(,)②
其中x叫做d在x轴上的坐标，y叫做ad在轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.
显然，言=1,0)，方=0,1)，0=0,0).
如下图：
A(x,y)
在直角坐标平面中，以原点0为起点作0A=d,则点A的位置由向量a唯一确定，我们称0A为
向量d的位置向量，
第2页（共6页）
设0=+了，则向量OA的坐标(，)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(，)也就是
向量0的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表
示，这样就把一个既有方向又有大小的向量标量实数化，建立了向量与实数的联系，为后期向量
的数量化运算奠定了基础，实现了“形与“数"的结合.
补充说明
(1)学习了向量的坐标表示后，（心，）在平面直角坐标系内就有两层意义了，所以以后要加以区
分，表示点坐标时称点(，)，表示向量时称向量(x,)·
(2)要把点坐标和向量坐标区分开，向量相等，则对应横纵坐标一定相同，但是始点和终点的
坐标却可以不同
四、平面向量的坐标运算
已知d=(他1，斯)，=(2，)，那么如何计算d和的线性组合呢？
显然，其线性组合可以分解为如下三种运算：
1.加法运算：d+6:
2.减法运算：司-名：
3.数乘运算：λd
下面我们分别来计算：
+不-(（国司+助)+（京+肠）
由向量线性运算的结合律和分配律
可得：(+)+（京+助》
=(1+2)+(+助)
即：d+=(1十2，h十物).
同理可得：d-君=(1-2，劲-)
也就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）·
λd=A1+h)=证1+方
即：Ad=(A1,A斯)
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，
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