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余弦定理（知识讲解）
课程要求：
1.理解并掌握余弦定理，了解余弦定理的多种证明方法，能用余弦定理解三角形，
2.掌握三角形面积公式并利用其求解问题
3.综合利用正余弦定理解决一些三角恒等式的证明问题，
一、
余弦定理
如果已知一个三角形的两个边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小
形状完全确定的三角形
我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和他们的夹角计算出三角
形的另一边和另两个角的问题，
先考虑怎样计算出三角形第三条边的长，这就是要研究如何用已知的两条边及其所夹的角来表示
第三条边的问题
如果已知三角形的两边的长BC=a,AC=b,边BC和边AC所夹的角是C,我们要设法找出一个
已知的a,和c与第三条边c之间的一个关系式，或用已知的a,和c表示第三条边c的公式，
由于涉及边长问题，我们可以考虑用向量的数量积，或用解析几何中的两点间距离公式来研究这
个问题，如下图：
b
a
B
设c克=d,CA=官，A店=仓，那么=d-6
=.己=（仓-（己-）=武.+.官-2d.言=2+-2aa0
所以c2=a2+b2-2 ab cos C.
第1页（共5页)
同理可以证明：
a2 =82+c2-26ccos A,
62=a2+c2-2accos B.
于是得到以下定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
二倍.即：
a2 =62+c2-26cCos A,
62 a2+c2-2accos B,
c2=a2+82-2abcos C
应用余弦定理，我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的第三条边，
从余弦定理，可以得到它的推论
cosA=62+e2-02
2be
a2+c2-
Cos B=
2ac
CO8C=
a2+02-c2
2ab
应用以上推论，就可以从三角形的三边计算出三角形的三个角的余弦值进而得到三个角，
1
在△ABC中，a=√，b=2,c=1,那么A的值是()·
A
c.
D.
6
2
在△ABC中，若b=2√2，c=1,anB=2V2,则a=
3
=，则esB=
在△ABC冲，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=c=V6,号=Y
；b=
4
对于任意a,b,c∈R+,求证：
√2-的+8+V8-bc+e≥V+ac+,且取等条件为后=。+。
11.1
二、三角形面积公式
第2页（共5页）余弦定理（知识讲解）
课程要求：
1.理解并掌握余弦定理，了解余弦定理的多种证明方法，能用余弦定理解三角形，
2.掌握三角形面积公式并利用其求解问题
3.综合利用正余弦定理解决一些三角恒等式的证明问题，
一、
余弦定理
如果已知一个三角形的两个边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小
形状完全确定的三角形
我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和他们的夹角计算出三角
形的另一边和另两个角的问题，
先考虑怎样计算出三角形第三条边的长，这就是要研究如何用已知的两条边及其所夹的角来表示
第三条边的问题
如果已知三角形的两边的长BC=a,AC=b,边BC和边AC所夹的角是C,我们要设法找出一个
已知的a,和c与第三条边c之间的一个关系式，或用已知的a,和c表示第三条边c的公式，
由于涉及边长问题，我们可以考虑用向量的数量积，或用解析几何中的两点间距离公式来研究这
个问题，如下图：
b
a
B
设c点=d,CA=官，A店=仓，那么仓=d-6
=.己=（仓-（己-）=武.+.官-2d.言=2+-2aa0
所以c2=a2+b2-2 ab cos C.
第1页（共8页）
同理可以证明：
a2 62+c2-26ccos A,
62=a2+c2-2accos B.
于是得到以下定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
二倍.即：
a2 =62+c2-26cCos A,
62 a2+c2-2accos B,
c2=a2+82-2abcos C
应用余弦定理，我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的第三条边，
从余弦定理，可以得到它的推论
c09A=
62+c2-a2
2be
a2+c2-
Cos B=
2ac
CO8C=
a2+2-2
2ab
应用以上推论，就可以从三角形的三边计算出三角形的三个角的余弦值进而得到三个角，
在△ABC中，a=√3，b=2,c=1,那么A的值是().
A.2
B.9
c.
D.
6
答案
⊙
根据余弦定理：co8A=+2-=2十12③)=号，解得A=牙，故选B.
解析
2bc
2×2×1
3
2
在△ABC中，若b=2√/2，c=1,tanB=2V2,则a=·
答案
3
解析
1
根据同角三角函数关系，tamB=2W2,可得c0B=3,再根据余弦定理cosB=
a2+c2-2
2ac
,可得a=3.
第2页（共8页）

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