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解三角形的应用（知识讲解）
课程要求：
利用正余弦定理解决现实生活中的测量问题，体会数学建模，感受正余弦定理的意义·
一、测量距离的问题
某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，
小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD、经测量AD=BD=14,BC=10,AC=16
,∠C=∠D
(1)求AB的长度.
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造
费用最低？请说明理由
2
如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向上，距离为12√mile;在A处看灯塔C在货
轮的北偏西30°方向上，距离为8√nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东
60°方向上.求：
北
D
(1)A处与D处之间的距离·
(2)灯塔0与D处之间的距离，
第1页（共3页)
二、测量高度的问题
AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法·
日日
mn已
日围日
济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，是济南的标志和象征，李明同学想测量
泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标J顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部与A点连线前进
15.2m,到达B点，测得此时泉标J顶部的仰角为80°，你能帮李明同学求出泉标的高度吗？（精确
到1m)
三、
测量角度的问题
5
如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营
救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向
沿直线CB前往B处救援，求cos的值，
北
+东
40海里
B
20海里
30
6
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=50m
,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得CF=100m
,求∠DEF的余弦值
第2页（共3页）
A50 B
120
C○
80
200
1100
D
7
在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为（√原-1）n milef的B处有一艘走私船，在A处北偏西75
方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10√3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船
正以10咖mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走
私船？并求出所需时间.
第3页（共3页）解三角形的应用（知识讲解）
课程要求：
利用正余弦定理解决现实生活中的测量问题，体会数学建模，感受正余弦定理的意义·
一、
测量距离的问题
某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，
小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD、经测量AD=BD=14,BC=10,AC=16
,∠C=∠D
(1)求AB的长度.
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造
费用最低？请说明理由
答案
(1)AB=14.
(2)小李的设计使建造费用最低，答案见解析·
解析
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
AB2=AC2+BC2-2AC.BCc08C=162+102-2×16×10c08C①
在△ABD中，由余弦定理及整理，得
AB2=AD2+BD2-2AD.BDc08D=142+142-2×142co8C,
②
由①②，得142+142-2×142c0sC=162+102-2×16×10cosC,
整理，得cosC-,
又∠C为三角形的内角，所以∠0=60°，
又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形，
故AB=14.
(2)小李的设计使建造费用最低
第1页（共7页)
理由如下：
S△ABC=
AD:BDsi血
SAABC
40,BCs如C,
因为AD,BC>AC,BC,
所以SAABD>S△ABC·
又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低，
即小李的设计使建造费用最低，
2如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向上，距离为12√nmil。;在A处看灯塔C在货
轮的北偏西30°方向上，距离为8√mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东
60°方向上，求：
北
D
B
(1)A处与D处之间的距离.
(2)灯塔C与D处之间的距离.
答案
(1)24nmile.
(2)8√5 nmile.
解析
(1)在△ABD中，由已知得∠B=45°.
由正弦定理，得AD=
AB血B_126×竖-24amie）.
血ADB
2
所以A处与D处之间的距离为24 amile
(2)在△ACD中，由余弦定理，得
CD=V/AC2+AD2-2AC·AD·co830
=√(8V8周2+242-2×8V3×24×y3
第2页（共7页）
=v192+576-576
=√192=8v(nmile)
所以灯塔c与D处之间的距离为8 V3nmile.
二、测量高度的问题
3
AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
G用日
B
答案
AB=
asin a sin B
+h.
sin(a-B)
解析
选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上，
C人a
如图，在G、H两点用测角仪测得A的仰角分别是a,B，
HG=CD=a,测角仪器的高是h,那么，在△ACD中，
根据正弦定理，可得AC=,
asinB
sin(a-B)'
则AB=AE+h=ACin&+h=asi血asiE
+h.
i血(a-)
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