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正弦定理（知识讲解）
课程要求：
1.理解并掌握正弦定理的内容，能运用正弦定理解三角形.
2.掌握并能运用三角形的相关公式解决问题
初中我们学习三角形时得到过对于任意三角形都有大边对大角，小边对小角的边角关系.那么我
们能否得到一个三角形内边角关系准确量化的表示呢？
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
b
sin A sin B sinC
下面我们利用分类讨论的思想并配合三角形的外接圆对这个定理进行证明：
做出△ABC的外接圆，假设外接圆半径为R,圆心为O·
①当△ABC是锐角三角形时，如下图：
y
U
B
连接B0并延长交圆于A,则∠ACB= ,∠A=∠A(圆周角定理)
在RLAABC中，
BC
BCBC
sinA'
=A'B,
b
血。面1A8=2R,即4=2R,同理可证
B=2R,C=2R,六血A
sin B=sinC=2R.
②当△ABC是直角三角形时，如下图：
第1页（共3页）
B
设∠C为直角，则“
sinA=imB=inC=c,此时c恰好为△ABC外接圆的直径，故仍然满足
b
a
mA血B=mC=2R
③当△ABC是钝角三角形时，假设LA为钝角，如下图：
y
B
A
连接BO并延长交圆于A,连接CA,则∠ACB= ,A=不-A.
在t△ANBC中，
BC
sinA'
=4B,..
BC
BCBC
。=、=A=A血A2，同
理可证6
a
b
B=2R,0=2R,A如B血0=2R
综上所述，对任意△MB0,均有A-
b
sin B=
血C
=2R成立，其中R为△ABC外接圆半径.
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系
一般地，把三角形的三个角和三条边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过
程叫做解三角形，
分析正弦定理可知，如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理可以计算出三角
形的另一个角，然后利用正弦定理就可以计算出另外两条边；如果已知三角形的任意两边与其中
一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而查表确定这个角和三角形
第2页（共3页）
其他的边和角.
1
在△ABC中，∠A=60°，AC=23,BC=3V2,则角B等于()·
A.45
B.30°或60°
C.135
D.45或135
2
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=√3，则c=（)·
A.2V月
B.2
C.√2
D.1
3
在△ABC冲，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,6,若4=26，则2B,im2A的值为(
sin2A
A司
1
B.
C.1
4
△ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,4e,若号A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
第3页（共3页）正弦定理（知识讲解）
课程要求：
1.理解并掌握正弦定理的内容，能运用正弦定理解三角形.
2.掌握并能运用三角形的相关公式解决问题
初中我们学习三角形时得到过对于任意三角形都有大边对大角，小边对小角的边角关系.那么我
们能否得到一个三角形内边角关系准确量化的表示呢？
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
b
sin A sin B sinC
下面我们利用分类讨论的思想并配合三角形的外接圆对这个定理进行证明：
做出△ABC的外接圆，假设外接圆半径为R,圆心为O·
①当△ABC是锐角三角形时，如下图：
y
U
B
连接B0并延长交圆于A,则∠ACB= ,∠A=∠A(圆周角定理)
在RLAABC中，
BC
BCBC
sinA'
=A'B,
b
血。面1A8=2R,即4=2R,同理可证
B=2R,C=2R,六血A
sin B=sinC=2R.
②当△ABC是直角三角形时，如下图：
第1页（共4页）
B
设∠C为直角，则“
sinA=imB=inC=c,此时c恰好为△ABC外接圆的直径，故仍然满足
b
a
mA血B=mC=2R
③当△ABC是钝角三角形时，假设LA为钝角，如下图：
y
B
A
连接BO并延长交圆于A,连接CA,则∠ACB= ,A=不-A.
在t△ANBC中，
BC
sinA'
=4B,..
BC
BCBC
。=、=A=A血A2，同
理可证6
a
b
B=2R,0=2R,A如B血0=2R
综上所述，对任意△MB0,均有A-
b
sin B=
血C
=2R成立，其中R为△ABC外接圆半径.
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系
一般地，把三角形的三个角和三条边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过
程叫做解三角形，
分析正弦定理可知，如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理可以计算出三角
形的另一个角，然后利用正弦定理就可以计算出另外两条边；如果已知三角形的任意两边与其中
一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而查表确定这个角和三角形
第2页（共4页）
其他的边和角.
在△ABC中，∠A=60°，AC=2V3,BC=3V2,则角B等于()·
A.45
B.30°或60°
C.135
D.45或135°
答案
A
解析
4B=0=2R,可得格-2
根据正弦定理：，“，一6一
609=nB,即si血Bs
2
那么B=或B=空，因为ACB,所以B=日
故选A.
2
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=√月，则c=().
A.2v5
B.2
C.√2
D.1
答案
B
√
V3
由已知吸正弦定理得dA=B=3A=2A4,又血A≠0，所%w/=
解析
2
又0°结合余弦定理得12=(W网2+c2-2c·V3×
2
,整理得c2-3c+2=0,
解得c=1或c=2.
当c=1时，△ABC为等腰三角形，A=C=30°，B=2A=60°，不满足三角形内角和定理，
故c=2.
3
在△AB0中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若3a=26,则2Bi2A的值为(
sin2A
1
1
A.一g
B.3
C.1
7
0.
答案
D
第3页（共4页）

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