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复数的概念和几何意义（知识讲解）
课程要求：
1.理解复数的相关概念；
2.了解复数的代数表示方法及其几何意义
数系的扩充及虚数单位的引入
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使是方程
x2+1=0的根，即使.i=一1，把这个新数添加到实数集中去，得到一个新数集，记作A,那么
方程x2+1=0在A中就有解x=1了，由于并非实根，我们将其定义为虚根，仿照实数系中以1为
度量单位一样，进一步称其为虚根单位
按照我们的研究需要并配合数系扩充的原则，以1和为基元，形如其线性组合
a.1+b.i=a+i(a,b∈R)一定也在数集A中，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
C={a+ba,b∈R},
【补充说明】
关于数系扩充的原则，尤其是运算封闭性，可以给程度较好的同学介绍：
二、
复数的相关概念
1.复数的概念
我们把集合C={a+例a,b∈R}中的数，即形如a+i(a,b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成
的集合C叫做复数集
2.复数的代数形式
复数通常用字母表示，即名=a+i(α，6∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数
z=a+i,以后不作特殊说明，都有a,b∈R,其中的a与分别叫做复数z的实部与虚部.
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3.复数相等的充要条件
在复数集C={a+ia,b∈R}中任取两个数a+i,c+di(a,b,c,deR),我们规定：
a+i与c+d相等的充要条件是a=c且b=d.
4.纯虚数
对于复数a+1,当且仅当b=0时，它是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且6≠0时，叫做纯
虚数
1
(1-√③的实部为()
A.1
B.-v月
C.1-3
D.0
2
下列命题中是假命题的是()
A.两个复数相等的一个必要条件是它们的虚部相等
B.两个复数不相等的一个充分条件是它们的实部不相等
C.两个虚数不能比较大小
D.实数一定大于虚数
3
设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,问当实数m为何值时：
(1)是实数？
(2)是纯虚数？
4
若的实部为gx2,虚部为g,x是实数，那么下列结论不正确的是()
A.使的实部、虚部都是正数的的集合是(1，十o∞)
B.的虚部为负数的x的集合是(0,1)
C使：的实部和虚部互为相反数的，的集合是{红0》
D.使的实部和虚部互为倒数的：的集合是{10市}
三、复数的几何意义
第2页（共4页)复数的概念和几何意义（知识讲解）
课程要求：
1.理解复数的相关概念；
2.了解复数的代数表示方法及其几何意义
数系的扩充及虚数单位的引入
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使是方程
x2+1=0的根，即使.i=一1，把这个新数添加到实数集中去，得到一个新数集，记作A,那么
方程x2+1=0在A中就有解x=1了，由于并非实根，我们将其定义为虚根，仿照实数系中以1为
度量单位一样，进一步称其为虚根单位
按照我们的研究需要并配合数系扩充的原则，以1和为基元，形如其线性组合
a.1+b.i=a+i(a,b∈R)一定也在数集A中，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
C={a+ba,b∈R},
【补充说明】
关于数系扩充的原则，尤其是运算封闭性，可以给程度较好的同学介绍：
二、
复数的相关概念
1.复数的概念
我们把集合C={a+例a,b∈R}中的数，即形如a+i(a,b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成
的集合C叫做复数集
2.复数的代数形式
复数通常用字母表示，即名=a+i(α，6∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数
z=a+i,以后不作特殊说明，都有a,b∈R,其中的a与分别叫做复数z的实部与虚部.
第1页（共6页）
3.复数相等的充要条件
在复数集C={a+ia,b∈R}中任取两个数a+i,c+di(a,b,c,deR),我们规定：
a+i与c+d相等的充要条件是a=c且d=d.
4.纯虚数
对于复数a+1,当且仅当b=0时，它是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且6≠0时，叫做纯
虚数
(1-√③的实部为()
A.1
B.-√5
C.1-√5
D.0
答案
D
解析
由复数的定义可知选D.
2
下列命题中是假命题的是()
A.两个复数相等的一个必要条件是它们的虚部相等
B.两个复数不相等的一个充分条件是它们的实部不相等
C.两个虚数不能比较大小
D.实数一定大于虚数
答案
0
解析
实数与虚数不能比较大小
3
设复数x=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,问当实数m为何值时：
(1)是实数？
(2)是纯虚数？
第2页（共6页）
答案
(1)m=-1或-2
(2)m=3
解析
(1)要使复数为实数，需要满足
m2-2m-2>0
1m2+3m+2=0
解得m=-1或-2..∴当m=-1或-2时，是实数
(2)要使复数为实数，需要满足{
/m2-2m-2=1
m2+3m+2≠0
解得m=3.当m=3时，是纯虚数.
4
若的实部为gx2,虚部为gx,x是实数，那么下列结论不正确的是()
A.使的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，十∞)
B.的虚部为负数的的集合是(0,1)
C使的实部和虚部互为相反数的：的集合是{凸动}
D.使的实部和虚部互为倒数的的集合是10》
答案
B
三、
复数的几何意义
根据复数相等的定义，任何一个复数之=《十i都可以由一个有序实数对(，)唯一确定.因为有序
实数对（α，）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以
建立一一对应
如下图：
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