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复数代数形式的四则运算（知识讲解）
课程要求：
熟练掌握复数代数形式的四则运算方法·
复数代数形式的加减法运算及其几何意义
1.复数代数形式的加法运算
两个复数的加法运算可以这样进行，将实部、虚部分别合并在一起单独运算，然后将计算所得实
部虚部结合形成新的复数，具体如下：
设：=4+i,2=c十是任意两个复数，那么
(a+i)+(c+d)=(a+c)+(6+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数·
【补充说明】
容易验证，复数的加法仍然满足交换律和结合律
2.复数代数形式的加法运算的几何意义
上节课我们了解到，复数可以与复平面内的向量构成一一对应关系，之前我们讨论过向量加法的
几何意义，由此也可以类比讨论复数加法的几何意义，
设0%，0Z分别与复数a+1,c+d对应，则0Z=a,),0Z=(c,).
由平面向量的坐标运算得：
0Z+0Z=a+c,b+④
这说明两个向量0Z与0Z2的和就是复数(a+c)+(6+d对应的向量，
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如下图），这就是复数加法的几何意义：
第1页（共7页）
Za+c,b+d)
Z(c.0
Z(a.b)
类比于加法运算，我们不加赘述的直接给出复数代数形式的减法运算：
设=a+i,忽=c+是任意两个复数，那么
(a+bi)-(c+d)=(a-c+(6-d)i
两个复数的差仍然是一个确定的复数·
【思考】类比复数加法的几何意义，请以图示指出复数减法的几何意义，
1
复平面内有A、B、C三点，点A对应的复数是2+i,向量BA对应的复数是1+2i,向量BC对应的
复数是3-i,求C点在复平面内的坐标
答案
(4,-2)
解析
AC=BC-BA,
.AC对应的复数为：(3-)-(1+21)=2-31，
设C(x,),则(x+i)-(2+)=2-31
∴.(+)=(2+)+(2-3)=4-2i,故花=4，y=-2,所以C点在复平面内的坐标为
(4,-2).
2
在复平面上，复数-1+i、0、3+2所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线
BD的长为()
A.5
B.√13
C.√15
D.17
第2页（共7页）
答案
解析
向量BA对应的复数为-1+1，BC对应的复数为3+2：，
,BD对应的复数为(-1+)+(3+2)=2+3i,
,B=√2+32=1.
3
已知平行四边形ABCD在复平面内，B为原点，点A和点C分别对应复数=x+2和2=3-5：i
(x∈R).若点D在第一象限，求x的取值范围.
答案
-3解析
设点D对应的复数为z,由平行四边形法则知B市=BA+Bd
,z=十4=(+3)+(2-5x)i.
点D在第一象限，
{+>08<
2
二、
复数代数形式的乘法运算
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，展开之后只需要将换成-1，并把实部和虚部分别合并
即可，具体如下：
设=a+i,2=c十是任意两个复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+odi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
【补充说明】
容易验证，复数的乘法满足交换律和结合律，而目对加法也满足分配律
4
复数=3+i,2=1一i,则z=·2在复平面内的对应点位于（)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
第3页（共7页）复数代数形式的四则运算（知识讲解）
课程要求：
熟练掌握复数代数形式的四则运算方法·
复数代数形式的加减法运算及其几何意义
1.复数代数形式的加法运算
两个复数的加法运算可以这样进行，将实部、虚部分别合并在一起单独运算，然后将计算所得实
部虚部结合形成新的复数，具体如下：
设：=4+i,2=c十是任意两个复数，那么
(a+i)+(c+d)=(a+c)+(6+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数·
【补充说明】
容易验证，复数的加法仍然满足交换律和结合律
2.复数代数形式的加法运算的几何意义
上节课我们了解到，复数可以与复平面内的向量构成一一对应关系，之前我们讨论过向量加法的
几何意义，由此也可以类比讨论复数加法的几何意义，
设0%，0Z分别与复数a+1,c+d对应，则0Z=a,),0Z=(c,).
由平面向量的坐标运算得：
0Z+0Z=a+c,b+④
这说明两个向量0Z与0Z2的和就是复数(a+c)+(6+d对应的向量，
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如下图），这就是复数加法的几何意义：
第1页（共4页）
Za+c,b+d)
Z.(c.d)
Z(a.b)
类比于加法运算，我们不加赘述的直接给出复数代数形式的减法运算：
设=a+i,忽=c+是任意两个复数，那么
(a+bi)-(c+d)=(a-c+(6-d)i
两个复数的差仍然是一个确定的复数·
【思考】类比复数加法的几何意义，请以图示指出复数减法的几何意义，
1
复平面内有A、B、C三点，点A对应的复数是2+i,向量BA对应的复数是1+2i,向量BC对应的
复数是3-i,求C点在复平面内的坐标
2
在复平面上，复数-1+i、0、3+2i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线
BD的长为()
A.5
B.√/13
C.√/15
D.√17
3
已知平行四边形ABCD在复平面内，B为原点，点A和点C分别对应复数：1=+2和2=3-5i
(花∈R),若点D在第一象限，求的取值范围.
二、
复数代数形式的乘法运算
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，展开之后只需要将换成-1，并把实部和虚部分别合并
即可，具体如下：
第2页（共4页）
设=a+i,2=c+是任意两个复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
【补充说明】
容易验证，复数的乘法满足交换律和结合律，而目对加法也满足分配律，
复数=3+1,2=1-i,则x=·2在复平面内的对应点位于（)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5
设复数=1+i,4=心+2i(x∈R),若·2为实数，则x等于（)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
6
设复数=号+，则1+等于()
A.-w
B.2
c.-1
D.
1
三、
复数代数形式的除法运算
1.共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数
如3+4i与3-4i互为共轭复数
2.共轭复数的记法
通常将复数的共轭复数记为z,
3.共轭复数的意义
引入共轭复数并不是吃饱了撑的，事实上，它有两点明显的好处：
好处一是下面这样一个事实：任意一个复数与其共轭复数的和或乘积一定是实数（请读者自行验
证)，这就为我们的运算带来了极大的方便.
第3页（共4页）

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