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《菱形存在性问题》
菱形存在性问题知识精讲
一、关于菱形的基础知识
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形也是轴对称图像，有两条对称轴(对角线所在的直线).
菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形.
二、菱形存在性问题解题策略
若将菱形放入坐标系中，则菱形四个点的坐标需满足：
，
一般情况下，我们解决菱形存在性问题有两种思路：①先证平行四边形，再证菱形；②先等腰，再菱形.
例1、如图，在坐标系中，已知A(1，1)、B(5，4)，点C在x轴上，在平面内任取一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.
【解答】见解析
【解析】思路1：设点C的坐标为，点D的坐标为，
①当AB为对角线时，即AB与CD互相平分，且AC＝BC，则
，解得，如图所示：
②当AC为对角线时，即AC与BD互相平分，且BA＝BC，则
，解得，如图所示：
③当AD为对角线时，则
，解得，如图所示：
思路2：先用等腰三角形存在性方法确定点C，再确定点D.
①当AB＝AC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
②当BA＝BC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
③当AC＝BC时，如图所示：
菱形存在性问题巩固练习（基础）
1、（2019春.婺城区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）
（1）当t＝4时，点M的坐标是　　；
（2）用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
2． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C(0，﹣3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．
(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3． 如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2＋4x﹣1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和 x轴的交点，点E 是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．
(1)点A的坐标为　　 ，点C的坐标为　 　．
(2)求直线BD的表达式．
(3)在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．
4． 如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8，4)，将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．
(1)求证：△CDE≌△ABE；
(2)求E点坐标；
(3)如图2，若将△ADC沿直线AC平移得△A′D′C′(边A′C′始终在直线AC上)，是否存在四边形DD′C′C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C′的坐标；若不存在，请说明理由．
5． 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AB＝8，BC＝4，
(1)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
(2)若点M在AB边上，平面内是否存在点N，使以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(﹣1，4)，与直线y＝﹣x＋1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(﹣3，O)．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线AB于点N．设点M的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值；
(3)是否存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7． 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝3．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方，连接MO、MB，并把△MOB沿BO翻折，得到四边形MOM'B，那么是否存在点，使四边形MOM'B为菱形？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由；
8． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的代数式分别表示：QB＝　 　，PD＝　 　；
(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
9． 已知Rt△AOB，其中∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
(1)如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为　 　；
(2)如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
(3)如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由．
10．如图，平行四边形ABCD的两个顶点B，D都在抛物线x2＋bx＋c上，且OB＝OC，AB＝5，tan∠ACB＝．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
菱形存在性问题巩固练习(提优)
1、（2019.渝中期末）如图1，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，A、B（点A在点B的左侧）两点的横坐标是方程的两个根，点D在y轴上其中AD＝
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）若P是第一象限位于直线BD上方的一点，过P作PE⊥BD于E，过E作EH⊥x轴于H点，作PF∥y轴交直线BD于F，F为BD中点，其中△PEF的周长是若M为线段AD上一动点，N为直线BD上一动点，连接HN，NM，求HN+MM﹣DM的最小值，此时y轴上有一个动点G，当|CG﹣MG|最大时，求G点坐标；
（3）在（2）的情况下，将△AOD绕O点逆时针旋转60°后得到△A'OD'如图2，将线段OD'沿着x轴平移，记平移过程中的线段OD'为O'D″，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得以点O'，D“，E，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c的图象与x轴交于点A和点B(4，0)，与y交于点C(0，4)，连结AC，作直线BC，点M，N分别是y轴与直线BC上的动点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当点M在y轴负半轴时，若∠OMA＋∠OCA＝∠CBA，求CM的长；
(3)点P为抛物线上的一动点，当点P在y轴右侧时，是否存在点P，使以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由；
3． 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，∠BOC＝30°，OC＝，两动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿着线段BO向点O运动，当点P运动到点C时，P、Q同时停止，设这两个点运动时间为t(s)．
(1)求出点A、B的坐标；
(2)当△OPQ的面积为时，求出t的值及此时点Q的坐标；
(3)在运动过程中，是否存在P、Q两点，使得△PQC沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D．
(1)求点G的坐标；
(2)求直线CD的解析式；
(3)在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2018.金牛区模拟）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求二次函数解析式；
（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．
（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．
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《菱形存在性问题》
菱形存在性问题知识精讲
一、关于菱形的基础知识
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形也是轴对称图像，有两条对称轴(对角线所在的直线).
菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形.
二、菱形存在性问题解题策略
若将菱形放入坐标系中，则菱形四个点的坐标需满足：
，
一般情况下，我们解决菱形存在性问题有两种思路：①先证平行四边形，再证菱形；②先等腰，再菱形.
例1、如图，在坐标系中，已知A(1，1)、B(5，4)，点C在x轴上，在平面内任取一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.
【解答】见解析
【解析】思路1：设点C的坐标为，点D的坐标为，
①当AB为对角线时，即AB与CD互相平分，且AC＝BC，则
，解得，如图所示：
②当AC为对角线时，即AC与BD互相平分，且BA＝BC，则
，解得，如图所示：
③当AD为对角线时，则
，解得，如图所示：
思路2：先用等腰三角形存在性方法确定点C，再确定点D.
①当AB＝AC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
②当BA＝BC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
③当AC＝BC时，如图所示：
菱形存在性问题巩固练习
1、（2019春.婺城区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）
（1）当t＝4时，点M的坐标是　　；
（2）用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，
∵A（0，6），B（4，0），AM＝BM，∴M（2，3），
（2）如图1中，作ME⊥OB于E，CF⊥x轴于F．
∵ME∥OA，AM＝BM，∴OE＝EB＝t，ME＝OA＝3，
∵∠MEB＝∠CFB＝∠CBM＝90°，∴∠MBE+∠CBF＝90°，∠MBE+∠BME＝90°，
∴∠BME＝∠CBF，∵BM＝BC，∴△MEB≌△BFC（AAS），
∴BF＝ME＝3，CF＝BE＝t，∴OF＝OB+BF＝t+3，∴C（t+3，t）．
（3）①如图3中，当AD＝BD时，以AB为对角线可得菱形ADBN，此时点N在y轴上．
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD，∵BD∥y轴，∴∠OAB＝∠ABD，∴∠OAB＝∠BAD．
∴tan∠OAB＝tan∠BAD，
∴，即，∴t＝3，
∴OB＝3，设AN＝NB＝m，
在Rt△OBN中，则有m2＝32+（6﹣m）2，
解得m＝，
∴ON＝OA＝AN＝6﹣＝，
∴点N的纵坐标为．
②如图4中，当AD＝AB时，以BD为对角线可得菱形ABND．此时点N的纵坐标为6．
③∵BD≠AB，∴不存在以AD万物对角线的菱形．
综上所述，满足条件的点N的纵坐标为或6．
2． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C(0，﹣3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．
(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)y＝x2﹣2x﹣3，点A(﹣1，0)、B(3，0)；(2)P
【解析】(1)函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：(﹣1，0)、(3，0)；
(2)存在，理由：
如图，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，
即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，
解得(舍去负值)，
故点P.
3． 如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2＋4x﹣1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和 x轴的交点，点E 是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．
(1)点A的坐标为　　 ，点C的坐标为　 　．
(2)求直线BD的表达式．
(3)在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．
【解答】(1)A(2，3)、C(0，﹣1)；(2)；(3)；
【解析】(1)y＝﹣x2＋4x﹣1图象的顶点：
，
∴点A的坐标为(2，3)，
当x＝0时，y＝﹣1，∴点C的坐标为(0，﹣1)；
(2)直线AC的解析式是y＝2x﹣1，
过点A并与AC垂直的直线记为BD，，
∴直线BD的表达式为；
(3)存在．
菱形DERP时，；
菱形DREP时，．
4． 如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8，4)，将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．
(1)求证：△CDE≌△ABE；
(2)求E点坐标；
(3)如图2，若将△ADC沿直线AC平移得△A′D′C′(边A′C′始终在直线AC上)，是否存在四边形DD′C′C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C′的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)见解析；(2)E(5，4)；(3)C′的坐标为或
【解析】(1)证明：∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC，∠B＝∠AOC＝90°，
∴CD＝OC＝AB，∠D＝∠AOC＝∠B，
又∠CED＝∠ABE，∴△CDE≌△ABE(AAS)，
∴CE＝AE；
(2)∵B(8，4)，即AB＝4，BC＝8．
∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，
可得(8﹣n)2＋42＝n2，
解得：n＝5，∴E(5，4)；
(3)设点C在水平方向上向左移动m个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位，
则点C′坐标为(﹣m，)，
则∵四边形DD′C′C为菱形，
∴CC′2＝(﹣m)2＋(m)2＝m2＝CD2＝16，
解得：，
故点C′的坐标为或．
5． 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AB＝8，BC＝4，
(1)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
(2)若点M在AB边上，平面内是否存在点N，使以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)y＝2x﹣6；(2)点N的坐标为(5，4)或(11，4)或(0，4)或(5.5，4)
【解析】(1)∵四边形OABC是矩形，
∴AO＝BC＝4，OC＝AB＝8，
∴A(0，4)，C(8，0)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为，
∵矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴DE⊥AC，AF＝CF，
∴F(4，2)，
设直线DE的解析式为：y＝2x＋n，
∴2＝2×4＋n，
∴n＝﹣6，
∴直线DE的解析式为：y＝2x﹣6；
(2)存在．
将y＝0代入y＝2x﹣6得：2x﹣6＝0，解得：x＝3
∴点D的坐标为(3，0)．
∴DC＝OC﹣OD＝8﹣3＝5．
如图所示：
∵C、D、M、N为顶点的四边形是菱形，
∴MD＝MN＝5．
过点D作DG⊥AB，则GD＝OA＝4，OD＝M1G．
①当点M位于点M1处时，在Rt△M1DG中，，
∴点M1的坐标为(0，4)，
∵M1N1＝5，
∴点N1的坐标为(5，4)；
②当点M位于点M2处时，在Rt△M2DG中，，
∴点M2的坐标为(6，4)，
∵M2N2＝5，
∴点N2的坐标为(11，4)．
当点N与M交换时，也满足条件，此时N(0，4)或(5.5，4)
综上所述，当点N的坐标为(5，4)或(11，4)或(0，4)或(5.5，4)时，能够使的四边形C、D、M、N为菱形．
6． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(﹣1，4)，与直线y＝﹣x＋1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(﹣3，O)．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线AB于点N．设点M的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值；
(3)是否存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)y＝﹣x2﹣4x＋1；(2)当时，MN最大值＝；(3)不存在
【解析】(1)当x＝﹣3时，y＝﹣(﹣3)＋1＝4，即B(﹣3，4)，当x＝0时，y＝1，即A(0，1)，
将(﹣1，4)(﹣3，4)(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c，得
，解得，
抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x＋1；
(2)M(m，﹣m2﹣4m＋1)，N(m，﹣m＋1)，
MN＝﹣m2﹣4m＋1﹣(﹣m＋1)＝﹣m2﹣3m＝，
当时，MN最大值＝；
(3)不存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形，
理由如下：假如存在，
MN＝BC＝﹣m2﹣3m＝4，
m2＋3m＋4＝0，
△＝32﹣4×1×4＝﹣7，∴m不存在，
∴不存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形.
7． 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝3．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方，连接MO、MB，并把△MOB沿BO翻折，得到四边形MOM'B，那么是否存在点，使四边形MOM'B为菱形？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】(1)y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)M点的坐标为
【解析】(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∵OA＝1，OB＝3，OC＝3
∴A(1，0)、B(0，3)、C(﹣3，0)，
，得，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)存在，
理由为：存在点M，使四边形MOM'B为菱形，
设M点坐标为(x，﹣x2﹣2x＋3)，
若使四边形MOM'B是菱形，则需要满足BO与MM'互相垂直且平分，
取BO中点H，作MH⊥BO，则点M为所求，如图所示：
∵OB＝3，
∴OH＝BH＝，
∴﹣x2﹣2x＋3＝，
解得(舍去)，，
∴M点的坐标为.
8． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的代数式分别表示：QB＝　 　，PD＝　 　；
(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【解答】(1)QB＝12﹣2t，；(2)t＝3.6；(3)v＝
【解析】(1)QB＝12﹣2t，
∵PD∥BC，，
则，解得；
(2)∵PD∥BC，当PD＝BQ时四边形PDBQ为平行四边形，
∴，解得：t＝3.6(秒)，
则存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形；
(3)∵t＝3.6秒时，BQ＝PD＝＝4.8，
由△ABC∽△ADP，得到AD＝＝6，BD＝15﹣6＝9，
∴BD≠PD，∴不存在t使四边形PDBQ为菱形；
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ＝12﹣vt，PD＝，BD＝15﹣t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，
当PD＝BD时，即＝15﹣t，
解得：t＝5(秒)，
当PD＝BQ，t＝5秒时，即×5＝12﹣5v，解得：v＝，
∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过5秒，四边形PDBQ是菱形．
9． 已知Rt△AOB，其中∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
(1)如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为　 　；
(2)如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
(3)如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)D(3，4)；(2)C(0，)；(3)
【解析】(1)∵OA＝6，OB＝8，
∴A的坐标是(6，0)，B的坐标是(0，8)，
D是AB的中点，则坐标是：(3，4)；
(2)设C(0，m)，(m＞0)，
则CO＝m，
BC＝AC＝(8﹣m)，
在Rt△AOC中，有(8﹣m)2﹣m2＝36，
整理得，16m＝28，
∴，
∴C(0，)；
(3)存在，当B'C∥AB(或B'D∥BO)时，四边形BCB'D是菱形，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，
∵B'C∥AB，∴△OB'C∽△OAB，，
设B'C＝BC＝x，则，
解得，
∵B'C∥AB，
∴∠CBD＋∠BCB'＝180°，
又∵∠CBD＝∠CB'D，∴∠CB'D＋∠BCB'＝180°，
∴B'D∥BO，
∴△AB'D∽△AOB，
，
设B'D＝BD＝y，
∴，
解得，
∴B'C＝BC＝B'D＝BD，
∴四边形BCB'D是菱形，
∴存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为．
10．如图，平行四边形ABCD的两个顶点B，D都在抛物线x2＋bx＋c上，且OB＝OC，AB＝5，tan∠ACB＝．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)；(2)E(4，6)
【解析】(1)∵OB＝OC，OA⊥BC，AB＝5，
∴AB＝AC＝5．
∴tan∠ACB＝，
．
由勾股定理，得OA2＋OC2＝AC2，
∴()2＋OC2＝52，解得OC＝±4(负值舍去)．
，OB＝OC＝4，AD＝BC＝8．
∴A(0，3)，B(﹣4，0)，C(4，0)，D(8，3)．
∴
解之得，
∴抛物线的解析式为；
(2)存在．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC＝AB＝CD．
又∵AD≠CD，
∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC＝CD＝DE＝AE．
由对称性可得，此时点E的坐标为(4，6)
当x＝4时，，所以点(4，6)在抛物线上．
∴存在点E的坐标为(4，6).
菱形存在性问题巩固练习(提优)
1、（2019.渝中期末）如图1，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，A、B（点A在点B的左侧）两点的横坐标是方程的两个根，点D在y轴上其中AD＝
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）若P是第一象限位于直线BD上方的一点，过P作PE⊥BD于E，过E作EH⊥x轴于H点，作PF∥y轴交直线BD于F，F为BD中点，其中△PEF的周长是若M为线段AD上一动点，N为直线BD上一动点，连接HN，NM，求HN+MM﹣DM的最小值，此时y轴上有一个动点G，当|CG﹣MG|最大时，求G点坐标；
（3）在（2）的情况下，将△AOD绕O点逆时针旋转60°后得到△A'OD'如图2，将线段OD'沿着x轴平移，记平移过程中的线段OD'为O'D″，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得以点O'，D“，E，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由得到x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），B（6，0），
在Rt△ADO中，∵∠AOD＝90°，AD＝，OA＝2，∴OD＝6，∵OB＝6，
∴OD＝OB＝6，∴△BOD是等腰直角三角形，∴S平行四边形ABCD＝AB OD＝8×6＝48．
（2）如图1中，
∵EH⊥OB，∴∠EHB＝90°，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°，∴△EHB也是等腰直角三角形，
以HE，HB为边构造正方形EHBJ，连接JN，延长JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，连接JT．
在Rt△DMT中，易知MT＝DM，
∵四边形EHBJ是正方形，
根据对称性可知：NH＝NJ，
∴HN+MM﹣DM＝NJ+MN﹣MT≤JT，
∴当JT最小时，HN+MM﹣DM的值最小，
∵JT≤JQ，
∴JT≤OB＝6，
∴HN+MM﹣DM的最小值为6．
如图2中，∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠ODB＝45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，设PE＝EF＝a，则PF＝a，
由题意2a+a＝4+4，
∴a＝，
∵FB＝FD，
∴F（3，3），
∴E（1，5），
∴当点M在JQ的延长线上时，HN+MM﹣DM的值最小，此时M（，5），
作点M关于y轴对称点M′，连接CM′，延长CM′交y轴于点G，此时|CG﹣MG|最大，
∵C（8，6），M′（，5），
∴直线CM′的解析式为，
∴G（0，）．
（3）存在．设菱形的对角线的交点为J．
①如图3﹣1中，当O′D″是对角线时，设ES交x轴于T．
∵四边形EO′SD″是菱形，
∴ES⊥O′D″，
∴直线ES的解析式为，
∴T（，0），
在Rt△JTO′中，易知O′J＝3，∠TO′J＝30°，
∴O′T＝2，
∴O′（，0），D″（，3），
∴J（），
∵JE＝JS，
∴可得S（）．
②如图3﹣2中，当EO′＝O′D″＝6时，可得四边形SEO′D″是菱形，设O′（m，0）．
则有：（m﹣1）2+52＝36，
∴m＝或，
∴O′（，0）或（，0）（如图3﹣3中），
∴D″（，3），
∴J（，4），
∵JS＝JO′，
∴S（，8）．
③如图3﹣3中，当EO′＝O′D″时，由②可知O′（，0）．同法可得S（，8）．
④如图3﹣4中，当ED″＝D″O′＝6时，可得四边形ESO′D″是菱形．
设D″（m，3），则（m﹣1）2+22＝36，
∴m＝（图5中情形），或m＝，
∴D″（，3），O′（，0），
∴J（），
∵JD″＝JS，
∴可得S（，2），
⑤如图3﹣5中，当D″E＝D″O时，由④可知D″（，3），
∴O′（，0），
∴J（），
∵JD″＝JS，
∴可得S（，2），
综上所述，满足条件的点S的坐标为（，﹣2）或（，8）或（，2）．
2．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c的图象与x轴交于点A和点B(4，0)，与y交于点C(0，4)，连结AC，作直线BC，点M，N分别是y轴与直线BC上的动点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当点M在y轴负半轴时，若∠OMA＋∠OCA＝∠CBA，求CM的长；
(3)点P为抛物线上的一动点，当点P在y轴右侧时，是否存在点P，使以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由；
【解答】(1)；(2)CM＝10；(3)CM＝2
【解析】(1)由题意把点B(4，0)，点C(0，4)代入y＝ax2＋x＋c，
得：，解得，
∴此抛物线解析式为；
(2)设点M的坐标为(0，m)，m＜0，
过点C作CF⊥MA，并交MA的延长线于点F．如图所示：
∴△CFA和△CFM是直角三角形．
又∵点B，点C坐标分别为(4，0)和(0，4)．
∴△COB是等腰直角三角形，
∠OMA＋∠OCA＝∠CBA＝45°，
∴∠CAF＝45°，
在中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4，
∴A(﹣2，0)，
∴，
∴，
∵∠AMO＝∠CMF，∠MOA＝∠MFC＝90°，
∴△MOA∽△MFC，
，
，
解得m1＝﹣6，m2＝(舍去)，
∴点M的坐标为(0，﹣6)，
∴CM＝10；
(3)∵点B，点C坐标分别为(4，0)和(0，4)．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋4，
∵四边形CPNM是菱形，
∴PN∥CM且PC＝PN，
∴设P点的坐标为(n，n2＋n＋4)，N点的坐标为(n，﹣n＋4)，
又∵CM＝PN，
∴M的纵坐标为：4＋n2﹣2n，
又∵CP＝PN，且，
，∴a＝2，
∴CM＝2.
3． 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，∠BOC＝30°，OC＝，两动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿着线段BO向点O运动，当点P运动到点C时，P、Q同时停止，设这两个点运动时间为t(s)．
(1)求出点A、B的坐标；
(2)当△OPQ的面积为时，求出t的值及此时点Q的坐标；
(3)在运动过程中，是否存在P、Q两点，使得△PQC沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)A(0，2)，B(，2)；(2)t＝或t＝，点Q的坐标为(，)，或(，)；(3)t的值为或t＝﹣4＋2或t＝
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝BC，AB＝OC＝，∠OCB＝90°，
∵∠BOC＝30°，OC＝，
∴OA＝BC＝OC tan30°＝×＝2，
∴OB＝2BC＝4，
∴A(0，2)，B(，2)；
(2)作QE⊥OC于E，如图所示：则QE∥BC，
∴△OQE∽△OBC，
∴，即，
∴QE＝2﹣t，
∴△OPQ的面积＝，
解得：t＝或t＝，
当t＝时，QE＝2﹣＝，OE＝QE＝；
当t＝时，QE＝2﹣＝，OE＝QE＝；
∴点Q的坐标为(，)，或(，)；
(3)存在；分三种情况：如图所示：
①当PQ＝PC时，
∵OP＝t，
∴PC＝2 ﹣t，
由(2)得：OE＝QE＝(2﹣t)，
∴PE＝OE﹣OP＝2 ﹣2 t，
∴PQ2＝PE2＋QE2，
∴(2﹣t)2＋(2 ﹣2 t)2＝(2 ﹣t)2，
解得：，或；
②当QC＝PC时，QC2＝QE2＋CE2，
∴(2﹣t)2＋(t)＝(2 ﹣t)2，
解得：t＝﹣4±2(负值舍去)，
∴t＝﹣4＋2；
③PQ＝QC时，PE＝CE，
∴2 ﹣2 t＝t，
解得：t＝．
综上所述：t的值为或t＝﹣4＋2或t＝．
4．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D．
(1)求点G的坐标；
(2)求直线CD的解析式；
(3)在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)G(，0)；(2)y＝﹣x＋4；(3)Q(2，4﹣)，(﹣2，4＋)，(，2)，(，﹣2)
【解析】(1)∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴G点为OB的中点，
∵OB＝，
∴G(，0)；
(2)过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△ABO中，∠ABO＝30°，OB＝，
∴cos30°＝，
即AB＝×＝4，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC＝2，在Rt△CBH中，CH＝BC＝1，BH＝，
∴OH＝﹣＝，
∴C(，﹣1)，
∵∠DGO＝60°，
∴OG＝OB＝，
∴OD＝tan60°＝4，
∴D(0，4)，
设直线CD的解析式为：y＝kx＋b，
则，
解得：
∴y＝﹣x＋4；
(3)存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
①如图，当OD＝DQ＝QP＝OP＝4时，四边形DOPQ为菱形，
设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP＝4，∠OPE＝30°，
∴OE＝2，PE＝，
∴Q(2，4﹣)．
②如图，当OD＝DQ＝QP＝OP＝4时，四边形DOPQ为菱形，
延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP＝4，∠FPO＝30°，
∴OF＝2，PF＝，
∴QF＝4＋ ，
∴Q(﹣2，4＋ )．
③如图，当PD＝DQ＝QO＝OP＝时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ＝30°，
∴MQ＝DQ＝，
∴Q(，2)．
④如图，当OD＝OQ＝QP＝DP＝4时，四边形DOQP为菱形，
设PQ交x轴于点N，此时∠NOQ＝∠ODQ＝30°，
在Rt△ONQ中，NQ＝OQ＝2，
∴ON＝，
∴Q(，﹣2)；
综上所述，满足条件的点Q共有四点：(2，4﹣)，(﹣2，4＋)，(，2)，(，﹣2)．
5．（2018.金牛区模拟）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求二次函数解析式；
（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．
（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，
解得：a＝1，c＝﹣6，
故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；
（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），
点B、D坐标所在的直线方程为：y＝﹣3x+6，
则：点M坐标为（m，﹣3m+6），点Q为（m，m2+m﹣6），
∴MQ＝yM﹣yQ＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，
在﹣6≤m≤2时，函数顶点处，取得最大值，
即MQ的最大值为16；
（3）①当BC边为菱形的边时，
情况一：N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0），
情况二：BC、MB是菱形两条邻边，且BC＝BM，则点N坐标为（2，﹣12），
情况三：BC、CM为邻边时，则点N坐标为（7.2﹣3.6）；
②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，
则直线DB与MH的交点为M，M关于BC的对称点为N，H为BC的中点，
∴H坐标为（1，﹣3），
直线BD的方程为：y＝﹣3x+6，直线MH的方程为：，
联立以上两个方程，解得：M坐标为（，），
同理得N坐标为（，），
故：N坐标为（，）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）；．
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